Градиент, дивергенция и завиток с ковариантными производными

Что касается градиента, ваша ошибка заключается в том, что компоненты градиента меняются контравариантно. Кроме того, есть проблема с нормализацией, о которой я расскажу ниже. Я не знаю, знакомы ли вы с дифференциальной геометрией и как она работает, но в основном, когда мы пишем вектор как$v^\mu$мы действительно пишем его компоненты относительно базиса.

В дифференциальной геометрии векторы - это объекты, которые действуют на функции$f : M \rightarrow \mathbb{R}$определено на многообразии. Скажите мне, если вы хотите, чтобы я уточнил, но это подразумевает, что базисные векторы, заданные некоторым набором координат, равны$\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$и варьируются ковариантно. Назовем эти базисные векторы$e_\mu$чтобы вернуться к «знакомым» обозначениям линейной алгебры.

Зная это, любой вектор является инвариантом, который можно записать как$\vec{V} = V^\mu \partial_\mu$. Ключевым моментом здесь является то, что он инвариантен, поэтому он будет одинаковым независимо от того, какую основу координат вы выберете.

Теперь градиент определяется в евклидовом пространстве просто как вектор с координатами$\partial_i f = \partial^if$где$i = \{x,y,z\}$. Обратите внимание, что в декартовых координатах ковариантные и контравариантные компоненты совпадают. Итак, инвариантная величина$\vec{\nabla}f = \partial^ife_i$. Обратите внимание, что из того, что мы делали ранее, компоненты вектора следует рассматривать как контравариантные.

Теперь, поскольку это выражение инвариантно, мы получаем в общих координатах$\vec{\nabla}f = \partial^\mu fe_\mu$. Итак, что вы ищете при вычислении компонентов,$\partial^\mu f = g^{\mu\nu}\frac{\partial f}{\partial x^\nu}$. Это дает$\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial r} e_r + \frac{1}{r^2}\frac{\partial f}{\partial \theta} e_\theta +\frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} e_\phi$. Это все еще не то, что мы ищем.

Это связано с тем, что базисные векторы не нормированы. Действительно, возьмем конкретный вектор$e_I$. Его компоненты$\delta^\mu_I$по определению (это базисный вектор). Затем,$|e_I|^2 = e_I^\mu e_I^\nu g_{\mu\nu} = g_{II}$. Отлично тогда! С использованием$e_i' = e_i/\sqrt{g_{ii}}$как нормализованные базовые векторы, мы получаем правильный ответ:$\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial r} e_r' + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} e_\theta' +\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} e_\phi'$

Перейдем к дивергенции. Это кажется проще, так как это скаляр, здесь нет базисного вектора, с которым можно было бы возиться. Ну, на самом деле есть еще некоторые проблемы, связанные с этим. Ваша формула снова верна, за исключением того, что когда вы пишете инвариантную формулу$\nabla_\mu V^{\mu}$вы неявно используете основу, которую мы определили ранее. Это означает, что вы не работаете на нормализованной основе. Мы знаем, что$\vec{V}$вы использовали это$\vec{V} = V^\mu e_\mu = V^\mu \sqrt{g_{\mu\mu}}e_\mu'$. Итак, чтобы сравнить формулу, вы должны ввести вектор относительно нормализованных координат,$A^\mu= V^\mu\sqrt{g_{\mu\mu}}$. Я позволю вам ввести вашу (правильную) формулу, чтобы убедиться, что она работает.

В заключение, ваша формула для скручивания должна быть правильной. Просто будьте осторожны, чтобы использовать правильные нормализации для векторов, и все будет в порядке (также будьте осторожны с тензорной формой тензора Леви-Чивита, которая включает определитель метрики). У меня нет веры, чтобы делать расчеты за вас, но вы обязательно должны попробовать, чтобы убедиться, что вы хорошо все поняли.

PS: Просто для полноты, для расхождения есть довольно полезная формула, которая также используется в книге Шона Кэролла:$\vec{\nabla}\cdot\vec{V} = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_\mu(\sqrt{g}V^\mu)$, полезно, когда вам лень вычислять Кристоффеля.

Градиент - это вектор, а не ковектор, поэтому:

Я сделал два видео на YouTube, объясняющих, как решить именно эти проблемы.

Первый объясняет, как использовать стандартные ковариантные производные (то, что вы используете) для вычисления дивергенции и градиента в сферических координатах:

https://www.youtube.com/watch?v=jEvPY6-ISUI

А другой объясняет, как вычислить ротор в сферических координатах, используя ковариантные производные:

https://www.youtube.com/watch?v=ZatyvboG58Q

Они показывают явное вычисление для всех трех операторов и объясняют принципы, лежащие в основе процесса, чтобы его можно было легко применить для других случаев в будущем. Они буквально отвечают именно на ваш вопрос.

Эта проблема очень хорошо освещена в «Гравитации и космологии» Вайнберга, глава 4, если я правильно помню. В основном есть одна проблема, которая приводит к путанице: в физике используются ортогональные координаты, например, сферические или цилиндрические. Это приводит к элементу диагональной линии. Это позволяет нормализовать естественные базис-векторы. Итак, если диагональные элементы называются$h_i$тогда «вектор» V в физике не является ни ковариантным, ни контравариантным вектором, но$V_j = h_j W_j$с вектором W и без суммирования Эйнштейна. Итак, чтобы перейти от математики к физике и обратно, нужно следить за$h_i$.

Вам нужны дифференциальные формы

Для дивергенции : из базовых знаний о дифференциальных формах мы можем вывести, что

В любом количестве измерений мы также имеем