Градиент ковариантен или контравариантен?

Большинство ответов, размещенных здесь, неверны. Страница Википедии для градиента говорит

Градиент$f$определяется как уникальное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектором$v$в каждой точке$x$является производной по направлению$f$вдоль$v$.

Взгляд на «Геометрию физики» Теодора Франкеля подтверждает это. Другие плакаты говорили, что компоненты градиента$f$даны$\partial_i f$; на самом деле это компоненты дифференциала$f$, который является ковектором. Градиент - это с поднятым индексом.

Давайте теперь посчитаем обе части выражения из Википедии. Внутренний продукт$\mathrm{grad}(f)$с вектором$v$является

$$\mathrm{grad}(f)^{i} g_{i j} v^j =\mathrm{grad}(f)^i v_i.$$ Производная по направлению $f$вдоль $v$является $$D_v f = v^i \partial_i f = g^{ij} \partial_i f ~v_j.$$ Мы можем четко определить $$\mathrm{grad}(f)^{i} = g^{ij} \partial_j f$$ или $$\mathrm{grad}f = g^{-1} \mathrm{d} f.$$

Градиент ковариантен! Почему?

Компоненты вектора контравариантны , потому что они преобразуются обратным (т.е. контра) способом базиса вектора. Эти компоненты принято обозначать верхним индексом. Итак, если ваши координаты называются$q$, они обозначаются$q^i$.

Следовательно, градиент (или производная, если хотите) равен

$$\partial_i = \frac{\partial}{\partial q^i},$$ которые преобразуются как обратное преобразованию компонента ( 1 / contra-variant = co-variant ).

---

Если вы все еще не уверены... попробуйте это!

• Предложите преобразование координат - Это правило преобразования для контравариантных компонентов - (например, из декартовых в полярные)
• Используйте цепное правило для преобразования производной,
• Убедитесь, что преобразование производной является обратным преобразованию координат.

---

Личное примечание: хотя запись, на которую указывает мой омоним, Оскар, верна [скажем $\partial^i$], я предпочитаю этого избегать, потому что это не производная по "настоящим" координатам. Пожалуйста, поймите правильно мои слова... Можно определить этот оператор, но с ним нужно обращаться осторожно!

Ваше здоровье! ;-)

Напомним интегральное определение градиента:

$$\nabla \varphi = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_{\partial V} \varphi \hat n \, dS$$

Это должно сказать вам, что компоненты градиента преобразуются так же, как и компоненты вектора нормали.$\hat n$, который, как известно, имеет ковариантные компоненты.

Вы можете убедиться, что вектор нормали имеет ковариантные компоненты, вспомнив, например, что нормаль может быть определена через векторное произведение касательных векторов (которые имеют контравариантные компоненты; векторное произведение истинных векторов является псевдовектором, который имеет ковариантные компоненты).

Ковариантный вектор обычно представляет собой вектор, компоненты которого записываются с индексом «внизу», например$x_{\mu}$. Теперь градиент определяется как$\partial_\mu := \dfrac{\partial}{\partial x^\mu}$. Как видите, ковариантный вектор$\partial_\mu$является производной по контравариантному вектору$x^\mu$. контравариантная форма$\partial_\mu$является$\partial^\mu := g^{\mu\nu}\partial_\nu$- и в случае постоянной метрики$\partial^\mu = \frac{\partial}{\partial x_\mu}$.

Иногда вектор$\partial_\mu$используется для обозначения координатной базы касательного векторного пространства в некоторой точке многообразия. В таком случае индекс$\mu$не является индексом компонента (который для вектора должен быть наверху), а указывает на$\mu$й вектор базиса.

Градиент является ковариантным. Рассмотрим градиент скалярной функции. Причина в том, что такой градиент представляет собой разность функции на единицу расстояния в направлении базисного вектора.

Мы часто рассматриваем градиент как обычный вектор, потому что мы часто преобразуем один ортонормированный базис в другой ортонормированный базис. И в этом случае матрица транспонирования и инверсия совпадают.

Позволять$E, E'$– матрицы базисных векторов и$A$— матрица преобразования между ними.

$$(E')^T = \begin{bmatrix} \hat{e}'_1 & \hat{e}'_2 & \vdots & \hat{e}'_n \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} \hat{e}_1 \\ \hat{e}_2 \\ \dots \\ \hat{e}_n \end{bmatrix} = A\ E$$

Позволять$\hat{v}, \hat{v}'$быть векторами в соответствующих базисах. Затем

$$\label{1} \tag{1} \hat{v} = v^i\hat{e}_i = E^T\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots \\v_n\end{bmatrix}$$ $$\label{2} \tag{2} \hat{v}' = v^i\hat{e}'_i = (E')^T\begin{bmatrix}v'_1\\v'_2\\ \vdots \\v'_n\end{bmatrix} = (A\ E)^T\begin{bmatrix}v'_1\\v'_2\\ \vdots \\v'_n\end{bmatrix} = E^TA^T\begin{bmatrix}v'_1\\v'_2\\ \vdots \\v'_n\end{bmatrix}$$ От $\ref{1}$и $\ref{2}$у нас есть: $$A^T\hat{v}' = \hat{v}$$ и наконец $$\boxed{\hat{v}' = (A^T)^{-1}\hat{v}}$$

Я предложу простое объяснение, основанное только на наклоне.

Предположим, у нас есть линия с наклоном 5, поэтому каждые 5 единиц вверх соответствуют одной единице вправо. Теперь давайте расширим ось y на 3, то есть промежутки между каждым приращением 1 теперь в 3 раза больше. Чтобы наш наклон был инвариантным (равным 5), компонент наклона y также должен расширяться в 3 раза, то есть ковариантно с осью y.

Позвольте мне попытаться дать простейшее объяснение того, почему градиент является ковариантным вектором.

По определениям компоненты ковариантного векторного преобразования подчиняются закону:

$$\overline A_i = \sum_{j=1}^n \frac {\partial x^j} {\partial \overline x^i} A_j \qquad \qquad (1)$$

а компоненты контравариантного векторного преобразования подчиняются закону:

$$\overline A^i = \sum_{j=1}^n \frac {\partial \overline x^j} {\partial x^i} A^j \qquad \qquad (2)$$

Если компоненты градиента скалярного поля в системе координат$\Bbb {\mathit {x_j}}$, а именно$\frac {∂f} {∂x_j}$, то можно найти компоненты градиента в системе координат$\Bbb { \overline { \mathit {x_i}}}$, а именно$\frac {∂f} {∂ \overline x_j}$, по цепному правилу:

$$\frac {\partial f} {\partial \overline x_i} = \frac {\partial f} {\partial x_1} \frac {\partial x_1} {\partial \overline x_i} + \frac {\partial f} {\partial x_2} \frac {\partial x_2} {\partial \overline x_i} + \cdot\cdot\cdot+ \frac {\partial f} {\partial x_n} \frac {\partial x_n} {\partial \overline x_i} = \sum_{j=1}^n \frac {\partial x_j} {\partial \overline x_i}\frac {\partial f} {\partial x_j}$$

Очевидно$\quad \frac {\partial f} {\partial \overline x_i}=\overline A_i \quad$, и$\quad \frac {\partial f} {\partial x_j} = A_j \quad$, то получим такое же уравнение, как$(1) \quad$

Следовательно, градиент является ковариантным вектором.