Определение транспонирования преобразования Лоренца (как смешанного тензора)

Question

Определение транспонирования преобразования Лоренца (как смешанного тензора)

игра

В приложении к учебнику по теории групп в физике Ву-Ки Танга транспонирование матрицы определяется следующим образом: уравнение (I.3-1)

{А^{Т}}_{я}^{Дж} "=" {А^{Дж}}_{я} .

${{A^T}_i}^j~=~{A^j}_i.$

Меня это крайне сбивает с толку, так как в случае преобразования Лоренца ${\Lambda_\nu}^\mu$ рассматривается в тексте (например, в главе 10) как матрица, и можно показать, что (например, см. Уравнение (2.3.10) Квантовой теории полей , том 1 Стивена Вайнберга)

{(Λ^{- 1})}^{ν}_{мю} "=" г_{мю о} {Λ^{о}}_{α} г^{α ν} .

${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}.$

В частности, он определяется на той же самой линии (приведенного выше уравнения Вайнберга)

{Λ_{мю}}^{ν} "=" {(Λ^{- 1})}^{ν}_{мю} .

${\Lambda_\mu}^\nu ~=~ {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu.$

Приведенное выше определение вполне естественно, так как его можно рассматривать как метрические тензоры $g_{\mu\nu}$ использовались для повышения и понижения и соответствующих нижнего и верхнего индекса оригинала ${\Lambda^\sigma}_\alpha$ .

Поэтому мне пришло в голову, что определение в книге Вайнберга не согласуется с определением в книге Тунга: в одном из них символ ${\Lambda_\mu}^\nu$ определяется как обратное преобразованию Лоренца контравариантных векторов, а в другом случае тот же символ определяется как транспонирование исходной матрицы. Однако это кажется запутанным, поскольку в книге Тунга прямо упоминается, что $g_{\mu\nu}$ можно использовать для получения ковариантного тензора из контравариантного тензора (см. Приложение I) и ${\Lambda^\sigma}_\alpha$ рассматривается как тензор (см., например, гл.10). Таким образом, кажется, что есть некоторое противоречие или как правильно понимать значение транспонирования, определенное в (I.3-1), которое можно переписать как

{А_{я}}^{Дж} "=" {(А^{Т})^{Дж}}_{я} .

${{A}_i}^j~=~{(A^T)^j}_i.$

Вот краткое изложение моего замешательства: оно происходит от двух способов, которыми ${\Lambda_\mu}^\nu$ относится к исходной матрице ${\Lambda^\nu}_\mu$ . (1) Тунг подразумевает, что ${\Lambda_\mu}^\nu = {(\Lambda^T)^\nu}_\mu$ и (2) ${\Lambda_\mu}^\nu \equiv g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu} = {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ , при условии, что вы лечите ${\Lambda_\mu}^\nu$ как смешанный тензор. Вопрос в том, соответствуют ли они друг другу?

По объяснению Оскара Каннингема я понимаю, что определение, введенное в учебнике Тунга, приводит к некоторому противоречию.

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v4): Кажется, Вайнберг не обсуждает определение транспонированной матрицы, а просто использует свойства преобразования Лоренца.

игра

Точно, однако Вайнберг определяет символ

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ как обратную матрицу, которая используется в Tung для определения транспонирования (той же) матрицы.

Qмеханик

Нет, Вайнберг не дает определения (кроме понижения и повышения индексов с помощью метрики). Он использует свойство матриц Лоренца.

игра

Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.

{(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ} = g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν}

${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$ является свойством, то

{Λ_{μ}}^{ν} = {(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu ~=~ {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ говорит, что это согласуется с «получением

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ повышая и понижая индексы

{Λ^{σ}}_{α}

${\Lambda^\sigma}_\alpha$ ". Последнее можно (вроде) рассматривать как определение

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ , особенно смотрелись рядом с условностями, введенными Тунгом (I.3-1).

Qмеханик

Нет, Тунг определяет

(Λ^{T})_{μ}^{ν}

$(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ , что в принципе отличается от

Λ_{μ}^{ν}

$\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ .

игра

Ты прав. Я понял следующее, сначала переписать (I.3-1) как

{A_{i}}^{j} = {(A^{T})^{j}}_{i}

${A_i}^j={(A^T)^j}_i$ , затем используйте его как определение (элемент

(i, j)

$(i,j)$ из) новая форма матрицы слева (до предположения, что она может быть получена путем повышения и понижения индексов) с помощью (элемента

(i, j)

$(i,j)$ некоторой матрицы

{B^{j}}_{i}

${B^j}_i$ в) правой части выражения. Приведенное выше «определение» сравнивается с определением Вайнберга. Поскольку интуитивно (что может быть источником моего непонимания) можно «определить» следующее

{(A^{T})^{j}}_{i} = {A^{i}}_{j}

${(A^T)^j}_i = {A^i}_j$ и

{(A^{T})_{j}}^{i} = {A_{i}}^{j}

${(A^T)_j}^i = {A_i}^j$ , что явно отличается от такового в Tung.

Ответы (2)

Определение транспонирования преобразования Лоренца (как смешанного тензора)

Комментарий к вопросу (v4): Кажется, Вайнберг не обсуждает определение транспонированной матрицы, а просто использует свойства преобразования Лоренца.
Точно, однако Вайнберг определяет символ ${\Lambda_\mu}^\nu$ как обратную матрицу, которая используется в Tung для определения транспонирования (той же) матрицы.
Нет, Вайнберг не дает определения (кроме понижения и повышения индексов с помощью метрики). Он использует свойство матриц Лоренца.
Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь. ${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$ является свойством, то ${\Lambda_\mu}^\nu ~=~ {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ говорит, что это согласуется с «получением ${\Lambda_\mu}^\nu$ повышая и понижая индексы ${\Lambda^\sigma}_\alpha$ ". Последнее можно (вроде) рассматривать как определение ${\Lambda_\mu}^\nu$ , особенно смотрелись рядом с условностями, введенными Тунгом (I.3-1).
Нет, Тунг определяет $(\Lambda^T)_{\mu}{}^{\nu}$ , что в принципе отличается от $\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$ .
Ты прав. Я понял следующее, сначала переписать (I.3-1) как ${A_i}^j={(A^T)^j}_i$ , затем используйте его как определение (элемент $(i,j)$ из) новая форма матрицы слева (до предположения, что она может быть получена путем повышения и понижения индексов) с помощью (элемента $(i,j)$ некоторой матрицы ${B^j}_i$ в) правой части выражения. Приведенное выше «определение» сравнивается с определением Вайнберга. Поскольку интуитивно (что может быть источником моего непонимания) можно «определить» следующее ${(A^T)^j}_i = {A^i}_j$ и ${(A^T)_j}^i = {A_i}^j$ , что явно отличается от такового в Tung.

Оскар Каннингем · Answer 1

Оскар Каннингем

Поэтому мне пришло в голову, что определение в книге Вайнберга не согласуется с определением в книге Тунга: в одном из них символ ${\Lambda_\mu}^\nu$ определяется как обратное преобразованию Лоренца контравариантных векторов, а в другом случае тот же символ определяется как транспонирование исходной матрицы.

Символ $\Lambda_\mu{}^\nu$ не определяется как транспонирование исходной матрицы . Транспонирование исходной матрицы равно ${\Lambda^T}_\nu{}^\mu$ (при условии, что исходная матрица $\Lambda^\mu{}_\nu$ ). Вы должны держать " $^T$ ". Пока вы используете" $^T$ "чтобы отличить матрицу от ее транспонирования, все должно получиться без несоответствий.

игра

Я понял следующее: сначала переписать (I.3-1) как

{A_{i}}^{j} = {(A^{T})^{j}}_{i}

${A_i}^j={(A^T)^j}_i$ , затем используйте его как определение (элемент

(i, j)

$(i,j)$ из) новая форма матрицы слева (в данный момент я не предполагаю, что она может быть получена путем повышения и понижения индексов) с помощью (элемента

(i, j)

$(i,j)$ исходной матрицы

{B^{j}}_{i}

${B^j}_i$ в) правой части выражения. Приведенное выше «определение» сравнивается с определением Вайнберга. Поскольку интуитивно (что может быть источником моего непонимания) можно определить следующее

{(A^{T})^{j}}_{i} = {A^{i}}_{j}

${(A^T)^j}_i = {A^i}_j$ и

{(A^{T})_{j}}^{i} = {A_{i}}^{j}

${(A^T)_j}^i = {A_i}^j$ , что явно отличается от такового в Tung.

Оскар Каннингем

Вы не можете иметь

{(A^{T})^{j}}_{i} = {A^{i}}_{j}

${(A^T)^j}_i={A^i}_j$ потому что вы можете установить только верхние индексы равными верхним индексам и наоборот. (Причина этого правила в том, что индексы преобразуются по-разному, поэтому, если вы установите их равными в одном базисе, они не будут равными в другом.)

игра

Для меня есть две вещи: матрица и тензор. Для тензора можно только понизить верхний индекс с помощью метрики. Но я думал о матрице (и забыл на секунду о тензоре). Для матрицы

M_{i, j}

$M_{i,j}$ , его транспонирование равно

M_{i, j}^{T} = M_{j, i}

$M^T_{i,j}=M_{j,i}$ , где

M_{i, j}

$M_{i,j}$ это

(i, j)

$(i,j)$ компонент матрицы

M

$M$ . Теперь примем соглашение, что

(i, j)

$(i,j)$ компонента матрицы обозначается

{Λ^{i}}_{j}

${\Lambda^i}_j$ (и делаем вид, что ничего не знаем о тензоре, и на самом деле определение матрицы и определение ее транспонирования не зависят от определения тензора).

игра

Так что же

(i, j)

$(i,j)$ компонент транспозиции этой матрицы? Для меня это будет

{Λ^{j}}_{i}

${\Lambda^j}_i$ . Поэтому

{(Λ^{T})^{i}}_{j} = {Λ^{j}}_{i}

${(\Lambda^T)^i}_j={\Lambda^j}_i$

игра

Извините, я не понял вашего объяснения. (Вы имели в виду, что исходная матрица

{Λ^{ν}}_{μ}

${\Lambda^\nu}_\mu$ , верно?) Если

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ не определяется как транспонирование

{Λ^{ν}}_{μ}

${\Lambda^\nu}_\mu$ . Что я должен понять

{Λ_{μ}}^{ν} = {(Λ^{T})^{ν}}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu = {(\Lambda^T)^\nu}_\mu$ (или

{(Λ^{T})_{μ}}^{ν} = {Λ^{ν}}_{μ}

${(\Lambda^T)_\mu}^\nu = {\Lambda^\nu}_\mu$ )? Спасибо!

проф. Леголасов · Answer 2

проф. Леголасов

С точки зрения $4\times 4$ матрицы, элементы представления группы SO(3,1) должны подчиняться следующему соотношению:

г \cdot А^{Т} \cdot г "=" А^{- 1},

$g\cdot A^{T} \cdot g = A^{-1},$

где $g = \text{diag}(1, -1, -1, -1) = g^{-1}$ .

Это отвечает на ваш вопрос?

игра

Спасибо за ответ. Как я понял, при выражении в матричных компонентах уравнение, которое вы написали, точно

{(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ} = g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν}

${{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu ~=~g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu}$ . Тогда нет. Я отредактировал вопрос, пытаясь сделать его формулировку более четкой.

проф. Леголасов

@gamebm ты говоришь об определении

A^{T}

$A^T$ и

A^{- 1}

$A^{-1}$ так как у вас есть некоторая свобода в этих определениях. Правда в том, что они уже определены для любого

A

$A$ . Не могли бы вы еще раз переформулировать суть вашего вопроса?

игра

Мой вопрос касается условности, введенной в учебнике Тунгом. Так что речь идет о некоторых конкретных обозначениях, используемых в этом учебнике. Он определен (или, по крайней мере, эквивалентно) там

{A_{i}}^{j} = {(A^{T})^{j}}_{i}

${{A}_i}^j~=~{(A^T)^j}_i$ , что является (для меня) соглашением о переписывании компонента транспонирования матрицы в терминах компонента другой матрицы, однако эти две матрицы (также) связаны друг с другом обозначениями для (преобразование между) ковариантным и контравариантные векторы, поэтому мне кажется, что что-то не совсем согласуется (из-за несвободы).

проф. Леголасов

Все последовательно. Вы просто должны помнить, что

{A_{i}}^{j} \neq {A^{j}}_{i}

${A_i}^j \neq {A^j}_i$ . Порядок индексов имеет значение.

игра

Да, я знаю об этом. Путаница возникает из-за двух способов, которыми

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ относится к исходной матрице

{Λ^{ν}}_{μ}

${\Lambda^\nu}_\mu$ . (1) Согласно Тунгу, который буквально говорит

{Λ_{μ}}^{ν} = {(Λ^{T})^{ν}}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu = {(\Lambda^T)^\nu}_\mu$ и (2)

{Λ_{μ}}^{ν} \equiv g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν} = {(Λ^{- 1})}^{ν}_{μ}

${\Lambda_\mu}^\nu \equiv g_{\mu\sigma}{\Lambda^\sigma}_\alpha g^{\alpha\nu} = {{(\Lambda^{-1})}^\nu}_\mu$ если лечить

{Λ_{μ}}^{ν}

${\Lambda_\mu}^\nu$ как смешанный тензор. Они последовательны?

проф. Леголасов

@gamebm Ваш предлог неверен:

{Λ_{μ}}^{ν} \neq g_{μ σ} {Λ^{σ}}_{α} g^{α ν}

${\Lambda_{\mu}}^{\nu} \neq g_{\mu \sigma} {\Lambda^{\sigma}}_{\alpha} g^{\alpha \nu}$ . Транспозиция — это не то же самое, что повышение/понижение индексов через произвольную метрику.

g

$g$ . Это верно только тогда, когда

g = 1_{n \times n}

$g=1_{n\times n}$ , т.е. в евклидовом пространстве.

игра

Я следовал Вайнбергу (2.3.10), который говорит, что последовательно думать о

{Λ^{σ}}_{α}

${\Lambda^\sigma}_\alpha$ как тензор (кроме свойств преобразования Лоренца). На мгновение у меня сложилось впечатление, что, возможно, мне не следует следовать этому соглашению, если я хочу использовать соглашение, введенное в Tung. Однако я понял, что в книге Тунга он тоже трактует

{Λ^{σ}}_{α}

${\Lambda^\sigma}_\alpha$ как тензор (см. Приложение I к книге, где-то рядом с (I.2-2) и (I.3-2)).

проф. Леголасов

Продолжим обсуждение в чате .

проф. Леголасов

Извините за приглашение в чат, этот сайт продолжает настаивать на «автоматическом перемещении этого обсуждения в чат», но, видимо, я не могу найти способ что-то там написать. Пожалуйста, проверьте сами. Итак, вы определяете

{Λ^{μ}}_{ν}

${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$ за счет повышения/понижения индексов. Чем он не равен

{Λ_{ν}^{T}}^{μ}

${\Lambda^T_{\nu}}^{\mu}$ .

игра

Да... проблема в том, что, как мне кажется, Тунг также принимает соглашение о повышении и понижении индексов с помощью метрического тензора.

проф. Леголасов

Так

{Λ^{μ}}_{ν}

${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$ определяется через повышение/понижение, то оно не равно

Λ^{T}

$\Lambda^T$ . Дело раскрыто? :)

Определение транспонирования преобразования Лоренца (как смешанного тензора)

игра

Qмеханик

игра

Qмеханик

игра

Qмеханик

игра

Ответы (2)

Оскар Каннингем

игра

Оскар Каннингем

игра

игра

игра

проф. Леголасов

игра

проф. Леголасов

игра

проф. Леголасов

игра

проф. Леголасов

игра

проф. Леголасов

проф. Леголасов

игра

проф. Леголасов

Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Является ли время вектором в пространстве Минковского? [дубликат]

Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

Почему пространственный член для контравариантного 4-градиента отрицателен, тогда как для других 4-векторов пространственная отрицательная ковариантная часть?

Докажите, что производная по ковариантному 4-вектору является контравариантным векторным оператором.

Смещенные индексы (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu против ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) на преобразованиях Лоренца

Ковариантный и контравариантный 4-вектор в специальной теории относительности

Почему (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

Лоренц-инвариантность закона силы Лоренца

Метрический тензор в СТО