В классе, который я читаю, я упоминаю своим студентам (очень, очень элементарно), что векторы и ковекторы не живут в одном и том же пространстве.

Типичная школьная фраза... "Яблоки и груши не добавляйте", и это правда!

Если вы помните о специальном столбцовом и строковом представлении вектора, вы можете доказать, что оба они (сами по себе) удовлетворяют обычным аксиомам вектора. Однако вы не можете добавить столбец и вектор - строку .

Теперь вы понимаете, что все это время вы работали с двумя типами векторов.

Дело в том, что они не связаны друг с другом , пока вы не наложите между ними связь, например , не отождествите их основания введением скалярного произведения

$$\left<e^i\mid e_j\right>= \delta^i_j.$$ Поскольку это отождествление можно представить как отображение векторов в скаляры, говорят, что ковекторы — это объекты, живущие в двойственном пространстве векторов.

---

Обновленный ответ

Прочитав ваш обновленный вопрос, я (полагаю) понял вашу точку зрения.

Мне кажется, что вы хотите знать «разницу» между (и связью) координат, нарисованных синим и зеленым цветом на картинке ниже.

Зеленые координаты - это контравариантные компоненты вектора, определяемые "параллельной" проекцией относительно другой оси. Синие координаты — это ковариантные компоненты вектора, определяемые «ортогональной» проекцией вдоль каждой оси.

ПРИМЕЧАНИЕ : в прямоугольной рамке эти два параметра совпадают, и двусмысленности нет.

Почему синий называется ковариантным?

Обычный ответ... потому что они трансформируются как основа! (Да, конечно... но я все еще не понимаю!)

Базовый вектор определяет направление, а поток в этом направлении определяется через (направленный) градиент. Градиент представлен набором перпендикулярных (гипер)плоскостей, ортогональных опорному направлению. Таким образом, перпендикулярно этому направлению... звучит знакомо, СИНИЕ КООРДИНАТЫ!!!

Так как производная может быть записана как$\partial_i$обозначим этот тип компонентов через$V_i$

А что с зелеными?

Я мог бы попытаться эвристически объяснить, почему они обозначены верхним индексом, но на этом этапе пусть математика сделает свое дело.

Я бы сделал следующее (я сделал это один раз и убедил себя... так что попробуй сделать это!):

• Определив векторный базис в непрямоугольной системе отсчета (в терминах прямоугольной), скажем$\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$с точки зрения$\hat{i},\hat{j}$и$\theta$угол между непрямоугольной осью, Найдите метрику непрямоугольной рамки. $$g_{ij} = \vec{e}_i\cdot\vec{e}_j.$$
• Затем инвертируйте метрику,
• Поднимите индекс ковариантного вектора с помощью обратной метрики.

Вы получите именно тот компонент, который представлен зеленой проекцией.

Почему они называются двойными?

Потому что вы всегда можете определить действие одного типа над другим... в результате получается поле ($\mathbb{K}$). Математически они определяют элементы двойственного пространства.

Другими словами, если вы говорите, что$\{V^i\}\in \mathbf{V}$, затем$\{V_j\}\in \mathbf{V}^*$

---

Это не моя идея, но вы можете прочитать об этом, например, в книгах Б. Шюца ("Первый курс общей теории относительности" или "Геометрические методы математической физики", если я хорошо помню).

Геометрическая интерпретация состоит в том, что контравариантные векторы — это стрелки, а ковариантные векторы — это плоскости, перпендикулярные заданному направлению, а отношение actionодной над другой — это количество гиперплоскостей, которые вы пересекаете своей стрелкой. Это связь .

Другими словами, вы связали два несвязанных векторных пространства (скажем,$\mathbf{V}$и$\mathbf{U}$), вводя скалярное произведение ($\cdot:\mathbf{V}\times\mathbf{U}\to \mathbb{K}$). Это эквивалентно определению действия$\mathbf{U}$над$\mathbf{V}$к

$$\mathbf{U}:\mathbf{V}\to\mathbb{K}.$$

С последней картой вы заключаете, что введение скалярного произведения эквивалентно идентификации$\mathbf{U}$с$\mathbf{V}^*$

«Ковариантные векторы, выраженные в дуальном базисе» — это то же самое, что «ортогональные проекции для получения ковариантных компонентов».

Выберите одну систему генерации$\vec e_1, \vec e_2$, необязательный ортогональный вектор$\vec v$может быть выражена$\vec v = v^1 \vec e_1 + v^2 \vec e_2$. Координаты$v^1, v^2$называются контравариантными координатами вектора$\vec v$

Теперь пусть новая порождающая система$\vec f^j$быть двойственной порождающей системы$\vec e_i$. Это выражается$\vec f^j.\vec e_i = \delta^j_i$(это определение "двойного")

Это значит, что$\vec f^2.\vec e_1 = \vec f^1.\vec e_2 = 0$

Итак, это означает, что$f^2$ортогонален$\vec e_1$, и что$\vec f^1$ортогонален$\vec e_2$

Координаты$v_1, v_2$вектора$\vec v$, относительно генераторной системы$\vec f^j$- ковариантные координаты$\vec v$:$\vec v = v_1 \vec f^1 + v_2 \vec f^2$

Теперь, чтобы найти$v_1$например, вы должны взять из стрелки вектора параллель к$\vec f^2$, но мы видели выше, что$\vec f^2$ортогонален$\vec e_1$, так что "проведите параллель с$\vec f^2$" - это то же самое, что "взять ортогональное к$\vec e_1$"

Вот как вы получаете свои ортогональные проекции для получения компонентов ковариантов.

ОБНОВЛЯТЬ

Рассматривая ковариантные дуальные векторы как линейные функции из векторного пространства в$\mathbb R$,$f^i$повышены до функций:$f^i( \vec e_j) = \delta ^i_j$

Так что у тебя есть :

$$w(\vec v) = ( w_1 f^1 + w_2 f^2)(v^1 \vec e_1 + v^2 \vec e_2) = (w_1.v^1 + w_2 v^2)$$

ОБНОВЛЕНИЕ 2

Теперь в конечномерном пространстве существует изоморфизм между пространством векторов и двойственным пространством векторного пространства. Позволять$\vec w$быть элементом векторного пространства и$w$— элемент двойственного пространства векторного пространства. Этот изоморфизм:

$$w(\vec v) = \vec w.\vec v$$

Применение этого изоморфизма к порождающей системе дает изоморфизм между$\vec f^i$(«взаимная основа») и$f^i$(основа двойственного пространства):

$$f^i(\vec e_j) = \vec f^i.\vec e_j= \delta^i_j$$

Вы можете найти этот вопрос и особенно ответ Эмилио Писанти поучительным в отношении того, что на самом деле представляют собой ко- и контравариантные векторы.

Теперь, если я могу немного перефразировать ваш первоначальный вопрос: *Как параллелограммы и линии в$\mathbb{R}^3$относятся к ко- и контравариантным векторам в$T_p \mathbb{R}^3$и$T^*_p\mathbb{R}^3$?

Первый легкий. Возьмите линию в$\mathbb{R}^3$. Он имеет направление$v = v^i e_i\in\mathbb{R}^3$. Идентифицировать$v\in T_p\mathbb{R}^3$естественным путем (т.$T_p\mathbb{R}^3$просто$\mathbb{R}^3$, просто дайте ему ту же основу$\{e_i\}$). У вас есть (контравариантный) вектор.

Второй немного сложнее: пусть параллелограмм натянут на$v,w \in \mathbb{R}^3$. Затем возникает естественная идея связать эту область с внешним продуктом. $v \wedge w$, что на самом деле представляет собой$v \wedge w = v^i w^j e_i \wedge e_j$элемент$T_p\mathbb{R}^3 \wedge T_p\mathbb{R}^3$, и может рассматриваться как постоянная 2-форма . Теперь определите основу$\{e_i \wedge e_j\}$из$T_p\mathbb{R}^3 \wedge T_p\mathbb{R}^3$с двойственным по Ходжем векторному произведению как$e_i \wedge e_j = \star (e_i \times e_j) = e^k$, что является двойственным базисом$T^*_p\mathbb{R}^3$. У вас есть (ковариантный) ковектор.

Вышеприведенный подход хорошо обобщается для$\mathbb{R}^n$снабженный некоторой (евклидовой) метрикой (т.е. скалярным произведением, по существу):

Позволять$\{e_i\}$быть основой$\mathbb{R}^n$как векторное пространство. Позволять$v \in \mathbb{R}^n$быть вектором.

Контравариантные компоненты$v$получены путем$v^i := (v,e_i)$, которая является вашей ортогональной проекцией.

Основа для гиперплоскостей$\Lambda^{n-1} \mathbb{R}^n$(или «гиперпараллелограммы», если хотите) определяется выражением$\{e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_{n-1}}\}$. Чтобы иметь возможность «проецировать»$v$на него, вы должны либо повернуть$v$в элемент$\Lambda^{n-1}\mathbb{R}^n$или превратить гиперплоскость в элемент$\mathbb{R}^n$, так как нельзя взять скалярное произведение плоскости на вектор. Итак, мы позволяем двойственности Ходжа делать свое дело и говорим, что ковариантные компоненты$v$получены путем$v_i := (v,\star(e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_{n-1}}))$, где$i$это именно тот индекс, который не встречается в$\{i_1, \dots ,i_{n-1}\}$. Вы спросите, почему этот ковариант?

Поскольку определяющим свойством двойственного по Ходжем является$v \wedge \star w = (v,w)(e_1 \wedge \dots \wedge e_n)$. От подключения$e_i$для$v$и$\star(e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_{n-1}})$для$w$, ты это видишь$\star(e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_{n-1}})$точно выполнять соотношение для двойственного базиса к$\{e_i\}$(вы должны использовать это$\star^2 = -\mathrm{id}$для$(n-1)$-векторы)

Таким образом, мы показали, переведя геометрическую идею проектирования на гиперплоскости на точный математический язык, что это в точности то же самое, что разложение в дуальном базисе.