Граничное условие электромагнетизма

Базовые оси

Диэлектрическая пластина, окруженная воздухом, как показано на схеме, имеет диэлектрическую проницаемость ϵ отличается от воздуха и проницаемостью почти такой же, как у воздуха. Электрическое поле повсюду внутри пластины равно

Е "=" ( 5 Дж ^ + 10 к ^ ) × потому что ⁡ ( ж т − б Икс ) .
Мне нужно найти электрическое и магнитное поле снаружи, на вершине плиты.

Я использую граничные условия и получаю, что магнитное поле и г -компонента электрического поля остается неизменной, но y-компонента электрического поля масштабируется из-за относительной диэлектрической проницаемости. Однако полученные таким образом поля не удовлетворяют уравнению максвелла ротора Е равно производной по времени от Б поскольку Б то же самое, но Е изменилось. Я не могу получить ошибку в этом. Правильно ли применять граничные условия так, как это сделал я? ИЛИ такого поля вообще не может быть?

Несколько вещей приходят на ум. Как вы думаете, какое B-поле находится внутри плиты? Как вы думаете, что является граничным условием для B-поля? Я говорю это, потому что B-поле вне плиты не то же самое, что B-поле в плите.
Поле B внутри плиты можно найти с помощью уравнения Максвелла, связывающего ротор E с производной B по времени (с точностью до константы). Теперь на границе нормальная составляющая B должна быть одинаковой с обеих сторон, потому что дивергенция B равна нулю, а тангенциальная H должна быть одинаковой, потому что поверхностные токи равны нулю. Но поскольку проницаемости одинаковы, это подразумевает одинаковую касательную B. Поскольку обе компоненты B одинаковы, весь вектор B одинаков с обеих сторон. Пожалуйста, дайте мне знать о любой ошибке в этом рассуждении.
Я заинтригован - и понимаю проблему. Была ли формулировка вопроса именно такой, как вы ее представили? Мне кажется, что полное поле внутри плиты не может быть таким, как вам дали.
Да, именно так это было сформулировано. Даже я так думал. Но не знаю причин, по которым это поле E не должно существовать.
Я предполагаю, что действительно такое поле нельзя заставить существовать. Он будет изгибаться у границ, что-то вроде мимолетных волн.

Ответы (3)

Граничные условия, как отмечено в комментарии под исходным постом, таковы:

Е 1 г "=" Е 2 г ϵ р Е 1 у "=" Е 2 у Б 1 у "=" Б 2 г Б 1 г ≈ Б 2 г
(Я использую 1 для обозначения диэлектрика и 2 для обозначения воздуха. Знак «приблизительно равно» выше означает, что мы предполагаем мю 1 ≈ мю 2 .)

Это довольно легко решить для Е → 2 и Б → 2 , как указано выше; результаты

Е → 2 "=" ( 5 ϵ р Дж ^ + 10 к ^ ) потому что ⁡ ( ю т − к Икс )
Б → 2 "=" ( 10 Дж ^ − 5 к ^ ) к грех ⁡ ( ю т − к Икс )
Кажется, что они нарушают уравнения Максвелла, если предположить, что поля не зависят от у или г :
∇ × Е → 2 "=" − ∂ Е 2 г ∂ Икс у ^ + ∂ Е 2 у ∂ Икс г ^ "=" ( 10 Дж ^ − 5 ϵ р к ^ ) к грех ⁡ ( ю т − к Икс )
− ∂ Б → 2 ∂ т "=" ( 10 Дж ^ − 5 к ^ ) ю грех ⁡ ( ю т − к Икс )
Но здесь важно отметить, что это только значения поля в у "=" 0 . На самом деле, это просто говорит нам, что ∂ Е Икс / ∂ у ≠ 0 вдоль интерфейса.

(ETA: то, что ниже этой точки, вероятно, не лучший способ думать о вещах. См. редактирование ниже.)

На самом деле, эту ситуацию можно рассматривать как предел θ → π / 2 полного внутреннего отражения. Предположим, у вас есть волна, бегущая в Икс у -плоскость к интерфейсу на диаграмме выше, с ее поляризацией в плоскости отражения. Это привело бы к возникновению отраженной волны в диэлектрике и затухающей волны в воздухе. Эта затухающая волна, вообще говоря, имела бы ненулевое Е Икс и Е у , а так как все вымирает экспоненциально в у -направление, мы бы ∂ Е Икс / ∂ у ≠ 0 . Я подозреваю (хотя и не доказал), что вы можете рассматривать свою проблему как случай полного внутреннего отражения в случае скользящего падения, и что тот факт, что ∂ Е Икс / ∂ у ≠ 0 есть лишь проявление мимолетных волн в воздухе в этом пределе.

Что, конечно, менее чем удовлетворительно в этом объяснении, так это то, что оно требует, чтобы электрическое поле приобрело компонент в Икс -направление в воздухе, даже если оно не имеет Икс -компонент в диэлектрике. Честно говоря, я недостаточно знаю о мимолетных волнах, чтобы понять, является ли это нарушением условий для этой интерпретации или нет.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Проведя расчеты, я не уверен в интерпретации исчезающих волн. Основная идея, которая у меня была, заключалась в том, что вы можете записать обычное трехволновое решение на границе раздела (падающая, прошедшая и отраженная), используя уравнения Френеля, чтобы найти полное Е Икс выше и ниже границы раздела, а затем покажите, что если вы приняли предел как угол падения θ → π / 2 , вы можете получить ситуацию, когда Е Икс → 0 в диэлектрике, но Е Икс ↛ 0 в воздухе. Однако, если предположить, что я сделал алгебру правильно, соотношение Е Икс значения непосредственно над и под интерфейсом будут

Е ~ Икс , диелек Е ~ Икс , воздух "=" я ϵ грех 2 ⁡ θ − 1 + потому что ⁡ θ ϵ ϵ грех 2 ⁡ θ − 1 ,
который приближается я / ϵ ≠ 0 как θ → π / 2 . Таким образом, вы не можете рассматривать эту ситуацию как предел скользящего падения полного внутреннего отражения.

Я все еще умеренно уверен в своем ответе выше (что ∂ Е Икс / ∂ у ≠ 0 на границе, хотя Е Икс сам исчезает), но пока я не могу рассмотреть неудовлетворительные аспекты этого ответа, которые я отметил выше.

Вы не показали расчеты для окончательного редактирования, но у меня есть некоторое представление о том, как проблема может быть сведена к пределу частоты выпаса. Хитрость заключается в том, чтобы сумма падающих и отраженных волн соответствовала начальным условиям. Это может быть несколько проблематично, и, возможно, действительного решения не будет.

Мне кажется, что плосковолновое описание поля в диэлектрической среде может быть справедливым только на расстояниях (направление —у), больших по сравнению с длиной волны. Здесь я предполагаю, что сама плоскость xz является верхней границей диэлектрика. Модифицированное изменение поля под диэлектрической границей необходимо использовать для оценки полей на ней.

Хм, похоже, это не мешает уравнениям Максвелла работать для плоских волн с наклонным падением на диэлектрик...
Если падающая энергия действительно локализована в диэлектрике, то вектор Пойнтинга должен обращаться в нуль снаружи, поскольку падение больше критического. С полученными выражениями полей вы можете оценить этот вектор и опубликовать его здесь? @ чираг.
Проблема в том, как рассчитать поля? Использование граничных условий или уравнения Максвелла. Теперь я думаю, что невозможно иметь это поле по всей плите. В беседе с другом мы пришли к выводу, что, как и в случае с углом падения больше критического, возникают исчезающие волны, здесь может произойти то же самое. Но я мало что знаю о таком изгибе на границах и не знаю, как рассчитать соответствующие значения.
Да, именно это я и имел в виду, говоря, что поле не может быть описано плоской волной, т. е. синусоидальной функцией того типа, который указан в постановке задачи, непосредственно под границей диэлектрик — вакуум. Эффект кривизны можно приблизительно учесть, предполагая цилиндрическую поверхность фронта волны на границе, если диэлектрическая пластина простирается бесконечно в направлении z в обоих направлениях. В таком приближении можно получить экспоненциально затухающие значения поля в вакууме непосредственно над поверхностью диэлектрика, что характерно для затухающих волн.

Вы можете вывести граничные условия из уравнений Максвелла в не зависящей от времени форме, а также из закона Снеллиуса и непрерывности фотонов.

Вы заменяете ∇ с Δ , разность сил. Δ × Е "=" 0 приводит к тому, что горизонтальная составляющая E равна 0, потому что нет поля, вертикального к E или H, и Δ ⋅ Б "=" 0 означает, что вертикальная составляющая B и D неизменна.

Непрерывность фотона означает, что с Д "=" ЧАС и с Б "=" Е , где c - локальная скорость света (т.е. с 0 / н ), и Д / Б "=" ЧАС / Е "=" 1 / Z ж "=" ϵ / мю . Соедините, вы получите

с Д "=" ЧАС "=" Z с Б "=" Z Е является результатом полей в фотоне по закону Снеллиуса.

Граничное условие электромагнетизма
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v