Ищем простое доказательство симметрии тензора линейной восприимчивости

Получение тензора диагональной восприимчивости:

Определим тензор линейной восприимчивости как$\chi_{ij}$:$P_i = \epsilon_0\chi_{ij}E_j$, используя стандартные обозначения для электрического поля и поляризации. Если принять игрушечную модель с атомами, имеющими гармонический потенциал:

$$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2x = -eE_x(t)/m$$ Теперь, если мы положим $E_x(t)$в терминах экспоненты/синусоиды с частотой принуждения $\omega$, мы можем найти стационарное решение таким же образом, как и вынужденный гармонический осциллятор. Затем $x$можно использовать для записи $P = -Nex$, с $N$обозначающий числовую плотность. Наконец, мы можем получить выражение, где $P \propto E$и получить скалярную восприимчивость.

В принципе, мы можем изменить значение$\omega_0$для$y$и$z$и напишите три разных уравнения для декартовых осей, чтобы получить диагональный тензор восприимчивости, где не все ненулевые члены равны. Очевидно, что этот тензор симметричен, и если мы сделаем преобразование подобия, он останется симметричным.

Доказать симметрию?

Я не уверен, как расширить эту основную идею, чтобы на самом деле доказать, что тензор восприимчивости должен быть симметричным в целом, что указано здесь на странице 2.

Матрица$\chi$известен как тензор восприимчивости и является тензором ранга 2. Это наиболее общее представление восприимчивости линейной и однородной диэлектрической среды. Можно показать, что для неоптически активного материала без потерь$\chi_{ij}=\chi_{ji}$.

Хотя оптически неактивная часть кажется интуитивно понятной, я не уверен, что в данном случае подразумевается под средой без потерь. Значит ли это$\gamma = 0$в игрушечной модели? Насколько я понимаю,$\gamma$вводится для учета тормозящих движений из-за присутствия других атомов в окружении. Другой вопрос: как описать оптически неактивный материал, т. е. какие уравнения можно с его помощью написать?

Кроме того, мне удалось найти доказательство симметрии тензора диэлектрической проницаемости. На самом деле есть два доказательства, одно с использованием теоремы Онзагера, а другое с использованием теоремы о флуктуации-диссипации. Однако я ищу гораздо более простое доказательство, надеюсь, только с точки зрения сохранения энергии и импульса и без каких-либо термодинамических механизмов.

Редактировать: первая ссылка взята со страницы курса PHYS 3003 Light and Matter Тима Фригарда, Школа физики и астрономии, Саутгемптонский университет, Великобритания. Вторая ссылка называется «Симметрия диэлектрического тензора» Кертиса Р. Менюка, Лаборатория вычислительной фотоники, UMBC.