Граничные токи для группы асимптотической симметрии (ASG)

В этом контексте «ток» — это объект, подчиняющийся аффинной алгебре Ли , также называемой алгеброй тока и частным случаем алгебры Каца-Муди. Это алгебра, образованная операторами единичного веса: возьмем, например, ток$J^a(z)$, где$a$это ярлык и$z$является комплексной координатой. Алгебра задается

$$[J^a_n,J^b_m]=i{f^{ab}}_cJ^c_{n+m}+mkd^{ab}\delta_{n+m},$$

где

$$J^a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint dz \, z^{-(n+1)}J^a(z).$$

Целое число$n$обозначает номер режима, целое число$k$это уровень и$d^{ab}=(t^a,t^b)$определяет внутренний продукт между генераторами.

Слово «граница» относится к тому факту, что группа симметрии, лежащая в основе алгебры, сохраняет определенную структуру на границе геометрии на бесконечности. В случае статьи, которую вы читаете, группа симметрии$U(1)$а граница определяется выражением$\mathcal{I}^+$.

Дополнительная информация:

Аффинные алгебры Ли играют роль в теории струн/конформной теории поля, где их можно использовать для генерации состояний в определенных представлениях группы. Например, государство

$$J^a_{-1}\tilde{\alpha}^{\mu}_{-1}|0\rangle$$

соответствует безмассовому вектору$A^{\mu a}$в присоединенном представлении базовой группы ($\tilde{\alpha}^{\mu}_{-1}$является оператором создания).