Закон сохранения цветового тока в теориях Янга-Миллса

Question

Закон сохранения цветового тока в теориях Янга-Миллса

Фредерик Томас

В теории Янга-Миллса, где фермионные поля трансформируются при $\Psi \rightarrow e^{-\theta^A t_A} \Psi$ с $t_A$ генераторы алгебры Ли, удовлетворяющие $[t_A,t_B]=f^A_{BC}t_C$ нётеровский ток $J_{\mu A}$ Уравнению Дирака можно приписать следующий вид $(i\not\partial - m)\Psi = 0$ :

{Дж}_{А}^{мю} "=" - \bar{Ψ} т_{А} γ^{мю} Ψ .

$J^\mu_A = -\overline{\Psi} t_A \gamma^\mu \Psi.$

Поскольку он является сохраняющимся током Нётер, он должен выполнять $\partial_\mu J^\mu_A=0$ .

Добавление к фермионным полям полей Янга-Миллса следующего вида:

Ф_{мю ν}^{А} "=" \partial_{мю} А_{ν}^{А} - \partial_{ν} А_{мю}^{А} + г ф_{Б С}^{А} А_{мю}^{Б} А_{ν}^{С} с лагранжианом л "=" - \frac{1}{4} Т р (Ф_{мю ν}^{А} Ф^{А мю ν})

$F^{A}_{\mu\nu} =\partial_\mu A^A_\nu - \partial_\nu A^A_\mu + g f_{BC}^{\;A} A^B_\mu A^C_\nu \quad \text{with the Lagrangian}\quad {\cal L}=-\frac{1}{4}Tr(F^A_{\mu\nu}F^{A\,\mu\nu})$

получаются следующие уравнения поля ( ${\cal D}_\mu$ ковариантная производная)

Д^{мю} Ф_{мю ν}^{А} "=" - {Дж}_{ν}^{А}

${\cal D}^{\mu} F^A_{\mu\nu} = -J^A_\nu$

Любопытно, что поля Янга-Миллса также соответствуют тождеству

Д^{мю} Д^{ν} Ф^{мю ν} "=" Д^{(мю} Д^{ν)} Ф^{мю ν} + Д^{[мю} Д^{ν]} Ф^{мю ν} "=" 0

${\cal D}^\mu{\cal D}^\nu F^{\mu\nu} = {\cal D}^{(\mu}{\cal D}^{\nu)} F^{\mu\nu} + {\cal D}^{[\mu}{\cal D}^{\nu]} F^{\mu\nu} = 0$

где первый член исчезает, так как $F_{\mu\nu}$ антисимметричен, тогда как ${\cal D}^{(\mu}{\cal D}^{\nu)}$ симметричен, а второй член исчезает из-за

[Д_{мю}, Д_{ν}] х^{А} "=" г ф_{Б С}^{А} Ф_{мю ν}^{Б} х^{С} для х^{А} "=" Ф^{А мю ν} .

$[{\cal D}_\mu,{\cal D}_{\nu}]\chi^A = g f^A_{BC} F^B_{\mu\nu} \chi^C \quad \text{for} \quad \chi^A = F^{A\,\mu\nu}.$

потому что $f^A_{BC}$ антисимметричен, тогда как $F^B_{\mu\nu}F^{C\,\mu\nu}$ симметричен по индексам $B$ и $C$ . Но дополнением к этому результату является то, что цветовой ток также удовлетворяет

Д_{мю} {Дж}_{А}^{мю} "=" 0

${\cal D}_\mu J_A^\mu = 0$

Как это совместимо с ${\partial}_\mu J_A^\mu = 0$ , в частности с учетом ${\cal D}_\mu J^{A\,\mu}= \partial_\mu J^{A\, \mu} + g f_{BC}^A A^B_\mu J^{C\mu}$ ? Срок подключения тоже нулевой? Или ${\partial}_\mu J_A^\mu = 0$ Более не действителен? Если бы это было так, то можно было бы потерять сохранение цветового заряда, поскольку исчезающая ковариантная дивергенция автоматически не приводит к закону сохранения, как в знаменитом примере тензора энергии-импульса ОТО. $T^{\mu\nu};\nu =0$ показывает.

Спасибо за любую помощь.

Андрей

возможно актуально: physics.stackexchange.com/q/348085

Ответы (1)

Закон сохранения цветового тока в теориях Янга-Миллса

возможно актуально: physics.stackexchange.com/q/348085

СуперЧокия · Answer 1

Я думаю, что есть небольшая путаница в том, как вы пишете уравнение движения.

TL;DR : ток, обычно используемый для сохранения цветовых токов, является кварковым током, т.е. током, относящимся к материальной составляющей лагранжиана (в отличие от части глюонного калибровочного поля ). Этот ток отличается от тока, который можно получить по теореме Нётер. И технически теорема Нётер применима только к глобальным симметриям, чего нельзя сказать о КХД.

Уравнение движения для глюонного поля $F^a_{\mu\nu}$ является:

\begin{matrix} (1) & \partial^{мю} Ф_{мю ν}^{а} (Икс) + ф_{а б с} А_{б}^{мю} Ф_{мю ν}^{с} (Икс) "=" - {Дж}_{ν}^{а} (Икс), \end{matrix}

$\tag{1} \partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) + f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) = - \color{red}{j}^a_\nu(x),$ где нижний регистр

j

$j$ используется для токов материи , в данном случае цветовых токов кварков:

{Дж}_{ν}^{а} (Икс) "=" \bar{ψ} (Икс) γ_{ν} Т_{а} ψ (Икс) "=" \bar{ψ} γ_{ν} \frac{λ_{а}}{2} ψ,

$j^a_\nu(x)= \bar\psi(x)\gamma_\nu T_a \psi(x) = \bar \psi\gamma_\nu \frac{\lambda_a}{2}\psi,$ где

T^{a}

$T^a$ являются генераторами

S U (3)

$SU(3)$ и

λ_{a}

$\lambda_a$ матрицы Гелл-Манна.

Сейчас.

В уравнении 1, принеси $f_{abc}...$ немного на RHS, и вы получите:

\begin{matrix} (2) & \partial^{мю} Ф_{мю ν}^{а} (Икс) "=" - ф_{а б с} А_{б}^{мю} Ф_{мю ν}^{с} (Икс) - {Дж}_{ν}^{а} (Икс) "=" {Дж}_{ν}^{а} (Икс) . \end{matrix}

$\tag{2} \partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) = - f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) - \color{black}{j}^a_\nu(x) = \color{red}{J}^a_\nu(x).$

Теперь это $J^a_\mu = - f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) - \color{black}{j}^a_\nu(x)$ является:

Ток, который появляется в дифференциальной форме: $\partial^{мю} Ф_{мю ν}^{а} (Икс) "=" {Дж}_{ν}^{а} (Икс) \leftrightarrow г Ф "=" Дж$ $\partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) = \color{black}{J}^a_\nu(x) \quad \leftrightarrow \quad \mathrm{d}F = J$
Этот ток является током «Нётер». Теорема Нётер (первая) применима только к глобальным симметриям, тогда как КХД является локальной. $SU(3)$ симметрии, так что формализм Нётер, строго говоря, не будет применяться так строго.
Но если вы предположили лагранжиан Янга-Миллса $л_{ЮМ} "=" л_{поле} + л_{иметь значение}$ $\mathcal{L}_{\text{YM}} = \mathcal{L}_{\text{field}} + \mathcal{L}_{\text{matter}}$ и применим обычную формулу для тока Нётер ${Дж}^{мю} "=" \frac{дельта л}{дельта (\partial_{мю} ф_{я})} дельта ф_{я},$ $J^\mu = \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta(\partial_\mu \varphi_i)}\delta \varphi_i,$ вы получите: ${Дж}^{мю} \propto дельта л_{ЮМ} \propto дельта л_{поле} + дельта л_{иметь значение},$ $J^\mu \propto \delta \mathcal{L}_{\text{YM}} \propto \delta\mathcal{L}_{\text{field}} + \delta\mathcal{L}_{\text{matter}},$ т.е. две вещи, которые соответствуют двум битам в $J^a_\mu$ над пунктирными списками.

И, что приятно, мы подтверждаем, что текущая, связанная с материей часть лагранжиана Янга-Миллса действительно $j^a_\mu$ как мы упоминали в начале ответа.

Исходя из теоремы Нётер, это $J^\mu$ также сохраняется в соответствии с: $\partial_{мю} {Дж}^{мю} "=" 0.$ $\partial_\mu J^\mu = 0.$

Итак, возвращаясь к текущему вопросу $j^a_\nu$ . Сохраняется ли он «ковариантно»?

К счастью, мы можем начать формировать эк. 1 и использовать ковариантную производную:

Д_{мю}^{а б} "=" {дельта}^{а б} \partial_{мю} + ф_{а б с} А_{мю}^{с}

$D^{ab}_\mu = \delta^{ab}\partial_\mu + f_{abc}A^{c}_\mu$ переписать ур. 1 как:

Д^{мю} Ф_{мю ν}^{а} "=" - {Дж}_{ν}^{а} (Икс),

$D^\mu F^a_{\mu\nu} = -j_\nu^a(x),$ так что то же самое, что и ваше третье уравнение, но в нижнем регистре

j

$j$ т.е. материя текущая (кварки).

И, как вы сами показали, в итоге вы получите:

Д_{мю} {Дж}_{а}^{мю} "=" 0,

$D_\mu j^\mu_a =0,$ так что да, ток материи «ковариантно» сохраняется.

Но теперь вы можете сказать: «Что, если я напишу $D^\mu$ как $\partial^\mu + \dots$ , где тогда $\partial^\mu j^a_\mu =0$ и я остался с другим битом».

Обоснование $\partial^\mu j^a_\mu =0$ была бы еще одна теорема Нётер, но применимая только к материальной части лагранжиана. Так что, если вы рассматриваете только это, то, конечно, просто довольствуйтесь $\partial^\mu j^a_\mu =0$ давая вам сохранение цветовых токов.

Но если вы хотите ввести ковариантную производную, вам также нужно рассмотреть часть калибровочного поля лагранжиана, а затем рассмотреть $J^\mu$ «полный» ток обсуждался выше.

И согласно вашей связи с GR в самом конце, обратите внимание, что GR — это не теория Янга-Миллса, поэтому вы не можете так легко провести параллели между ними. Тем не менее , смотрите конец этого ответа для более количественного обсуждения этого вопроса.

Закон сохранения цветового тока в теориях Янга-Миллса

Фредерик Томас

Андрей

Ответы (1)

СуперЧокия

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Заряд не сохраняется в скалярной КЭД? [дубликат]

Применение теоремы Нётер

Какой нётеровский заряд связан с цветовой SU(3)SU(3)SU(3)-симметрией КХД?

Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?

Тензор энергии-импульса из теоремы Нётер

Переводы и теорема Нётер

Сохраняющиеся заряды и генераторы

Существуют ли в теории поля сохраняющиеся величины, не возникающие из теоремы Нётер?

Бесконечно много сохраняющихся токов в любой КТП?