Какие преобразования *не* являются симметриями лагранжиана?

Насколько я понимаю, теорема Нётер для полей работает, как объяснено, например, в примечаниях к лекциям Дэвида Тонга по QFT (стр. 14), говоря, что преобразование ф ( Икс ) ↦ ф ( Икс ) + дельта ф ( Икс ) называется симметрией, если она вызывает изменение плотности лагранжиана, которое может быть выражено как четырехкратное расхождение,

(1,35) дельта л "=" ∂ мю Ф мю
для некоторого 4-векторного поля Ф мю .

Затем мы покажем, что изменение этой лагранжевой плотности также может быть выражено для произвольного преобразования как

(1.37) дельта л "=" ∂ мю ( ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) дельта ф ) .

Что является 4-расхождением. Так как же мы можем сказать, что любое преобразование не является симметрией в указанном выше смысле?

Ответы (1)

Дело в том, что ур. (1.35) должно выполняться вне оболочки, чтобы иметь симметрию, в то время как уравнение. (1.37) может выполняться только на оболочке.

[Термин «на поверхности» (в данном контексте) означает, что уравнения Эйлера-Лагранжа выполняются. См. также этот пост Phys.SE.]

Другими словами: на оболочке действие будет меняться не более чем на граничный член для любого бесконечно малого изменения, независимо от того, является ли оно симметрией.

Другими словами: под симметрией понимается симметрия вне оболочки. Симметрия на оболочке — бессодержательное понятие.

О да, конечно! И экв. (1.35) должно быть вне оболочки, чтобы действие по-прежнему было минимальным (поскольку действие соседних траекторий новой траектории будет изменено на одинаковую величину каждая)
С другой стороны, даже если дельта л не имеет формы 4-дивергенции вне оболочки, может ли она, например, по-прежнему равняться нулю на траектории на оболочке и, таким образом, давать сохраняющуюся плотность 4-тока, даже если наше преобразование не было симметрией?
Какие преобразования *не* являются симметриями лагранжиана?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v