Получение патча Пуанкаре из глобальных координат в AdS33_{3}

Я читал конспекты лекций Томаса Хартмана о квантовой гравитации и черных дырах.

---

На странице 97 он выводит (9.4), которая является метрикой AdS.$_{3}$в глобальных координатах:

$$ds^{2} = \ell^{2}(-\cosh^{2}\rho\ dt^{2} + d\rho^{2} + \sinh^{2}\rho\ d\phi^{2}).$$

---

На странице 100 он утверждает, что расширение метрики в целом$r$при изменении координат

$$\begin{align} t^{\pm} = t \pm \phi, \qquad \rho = \log(2r), \end{align}$$ можно показать, что в ведущем порядке индуцированная метрика на гиперболоиде AdS $_{3}$становится $$\begin{align} ds^{2} = \ell^{2} \left(\frac{dr^{2}}{r^{2}}-r^{2}dt^{+}dt^{-}\right). \end{align}$$

---

Я нахожу при изменении координат, что

$$\begin{align} ds^{2} = \ell^{2} \left(\frac{dr^{2}}{r^{2}} - \frac{1}{4}dt^{+2} - \left(r^{2} + \frac{1}{16r^{2}} \right) dt^{+}dt^{-} - \frac{1}{4}dt^{-2} \right). \end{align}$$

Конечно, термин в$1/r^{2}$падает на свободе$r$, но я не могу избавиться от компонентов в$dt^{+2}$и$dt^{-2}$. Я что-то упустил здесь?

---

Затем он упоминает, что это координаты Пуанкаре, но не упоминает об обычном способе определения метрики AdS.$_{3}$записывается в координатах Пуанкаре:

$$ds^{2} = \frac{\ell^{2}}{z^{2}}(dz^{2}-dt^{2}+d\vec{x}^{2}).$$

Что мне здесь не хватает?