Как найти магнитное поле как функцию rrr от оси соленоида?

Давайте подойдем к этому интуитивно. Я предполагаю, что перед выполнением этой задачи вы пытались выполнить другие простые настройки. Например, если бы ток был направлен вдоль поверхности трубки в продольном направлении, то поле внутри было бы нулевым, а снаружи было бы как на рис. 1.

_{Рисунок 1: Jfmelero , CC BY-SA 4.0 , через Wikimedia Commons}

Другим типичным примером является магнитное поле, создаваемое длинным соленоидом, показанное на рис. 2. Здесь мы предполагаем, что витки плотно намотаны и расположены достаточно близко, так что ток можно представить как протекающий в$\hat{\varphi}$направление в цилиндрических координатах . Обратите внимание, что в этом случае поле снаружи равно нулю. Внутри он идет в$\hat{z}$-направление.

_{Рисунок 2: Общественное достояние , через Викисклад.}

Теперь в вашей задаче течение наклонено. Есть компонент$J_z=J\sin\theta$который идет по направлению трубы, и составляющая$J_\varphi =J\cos\theta$который идет в азимутальном направлении. Таким образом, мы ожидаем поле снаружи, как на рис. 1, вызванное$J_z$и поле внутри, как на рис. 2, вызванное$J_\varphi$. Это объясняет фактор квадратного корня

Если мы применим круговой закон Ампера, взяв окружность радиусом$r$, то заключенный ток равен 0, так почему же поле не равно нулю?

Это правда. Но эта петля интегрирования в данном случае бесполезна, так как поле внутри идет вдоль трубки и, следовательно, перпендикулярно петле в каждой точке, что делает$\int\mathbf B\cdot d\mathbf l$тождественно нулю. Вам нужно выбрать цикл, который имеет ненулевой вклад в$\int\mathbf B\cdot d\mathbf l$вдоль какой-то его части. Может оказаться полезным вернуться к случаю, показанному на рис. 2 (соленоид).

Вы можете думать об этой ситуации как о комбинации двух эффектов: 1. длинный идеальный соленоид с током, текущим вокруг цилиндра, без поля снаружи и с однородным полем внутри; 2) цилиндрический проводник с текущим по его длине однородным током, без поля внутри и с вращающимся полем снаружи, уменьшающимся с увеличением радиуса. Используйте указанный угол, чтобы получить плотность тока в каждом направлении, и закон Ампера, чтобы найти соответствующие поля.