Можно ли применить закон Ампера к бесконечному числу чередующихся катушек Гельмгольца?

Question

Можно ли применить закон Ампера к бесконечному числу чередующихся катушек Гельмгольца?

линуксфрибёрд

У меня следующая поверхностная плотность тока

{\bar{о}}_{с} "=" \hat{ф} грех (к г) | {\bar{о}}_{с} |

$\bar{\sigma}_s = \hat{\phi} \sin(kz) |\bar{\sigma}_s|$ для аппроксимации бесконечного числа чередующихся катушек Гельмгольца, сложенных вдоль оси z с радиусами

R

$R$ . Я хочу проверить, равно ли нулю магнитное поле вне катушек? Я не уверен, применим ли в этой ситуации закон цепей Ампера, потому что ток меняет знак при смещении по оси z. Возможно, что магнитное поле равно нулю, но я не знаю, как это доказать. Я попытался рассчитать магнитное поле, используя условие граничной поверхности

\hat{ρ} \times \bar{B} = {\bar{σ}}_{s}

$\hat{\rho}\times \bar{B} = \bar{\sigma}_s$ , где

\hat{ρ}

$\hat{\rho}$ нормаль к цилиндрической поверхности. У меня есть два возможных решения для магнитного поля

\bar{Б} "=" \hat{ф} \times \bar{\nabla} Φ_{1} + \bar{\nabla} Φ_{0}

$\bar{B} = \hat{\phi}\times \bar{\nabla}\Phi_1 + \bar{\nabla}\Phi_0$ где

Φ_{0} "=" А потому что (к г) К_{0} (к р) Φ_{1} "=" Б грех (к г) К_{1} (к р)

$\Phi_0 = A \cos(kz)K_0(k\rho) \\ \Phi_1 = B \sin(kz)K_1(k\rho)$ и

K_{0} (x)

$K_0(x)$ и

K_{1} (x)

$K_1(x)$ — экспоненциально убывающие модифицированные функции Бесселя. Оба дают ненулевые поверхностные токи

\hat{р} \times \bar{Б} "=" \hat{р} \times (\hat{ф} \times \bar{\nabla} Φ_{1}) + \hat{р} \times \bar{\nabla} Φ_{0} "=" \hat{ф} (\hat{р} \cdot \bar{\nabla} Φ_{1}) + \hat{р} \times \bar{\nabla} Φ_{0} "=" \hat{ф} \frac{\partial Φ_{1}}{\partial р} - \hat{ф} \frac{\partial Φ_{0}}{\partial г}

$\hat{\rho}\times \bar{B} = \hat{\rho}\times (\hat{\phi}\times \bar{\nabla}\Phi_1) + \hat{\rho}\times \bar{\nabla}\Phi_0 \\= \hat{\phi} (\hat{\rho} \cdot\bar{\nabla} \Phi_1) + \hat{\rho}\times \bar{\nabla}\Phi_0 \\= \hat{\phi} \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \rho} - \hat{\phi} \dfrac{\partial \Phi_0}{\partial z}$ и оба удовлетворяют

\bar{\nabla} \times \bar{B} = 0

$\bar{\nabla}\times \bar{B}=0$ и

\bar{\nabla} \cdot \bar{B} = 0

$\bar{\nabla}\cdot \bar{B}=0$ . Должен ли я вместо этого использовать круговой закон Ампера?

Кайл Канос

Обратите внимание, что Physics.StackExchange не является сайтом помощи при выполнении домашних заданий. См. этот мета-пост о том, как задавать вопросы, похожие на домашнее задание, и этот мета-пост, посвященный задачам «проверить мою работу» .

линуксфрибёрд

@KyleKanos Я внес исправления в сообщение, чтобы оно соответствовало теме. Спасибо.

Ответы (1)

Можно ли применить закон Ампера к бесконечному числу чередующихся катушек Гельмгольца?

Обратите внимание, что Physics.StackExchange не является сайтом помощи при выполнении домашних заданий. См. этот мета-пост о том, как задавать вопросы, похожие на домашнее задание, и этот мета-пост, посвященный задачам «проверить мою работу» .
@KyleKanos Я внес исправления в сообщение, чтобы оно соответствовало теме. Спасибо.

Тимей · Answer 1

С одной стороны, вы не можете решить для магнитного поля без соответствующих граничных условий (например, всегда может быть входящая электромагнитная волна, которая еще не столкнулась с вашим цилиндром). С другой стороны, если у вас есть фиксированный заряд и распределение тока, вы всегда можете использовать уравнения Ефименко, чтобы найти решение уравнений Максвелла, и оно будет иметь совершенно прекрасные (физические) граничные условия излучения.

В вашем конкретном случае ваши токи постоянны, а плотность заряда равна нулю, поэтому уравнения Ефименко сводятся к нулю для электрического поля, и вы просто получаете закон Био-Савара для магнитного поля. Что дает ненулевое магнитное поле в плоскости $z=\pi/(2k)$ например. Итак, ваше магнитное поле не равно нулю везде.

Что касается того, использовать ли закон Ампера, его можно использовать, но, например, вам очень нужно знать направление вашего магнитного поля. Но опять же, в самолете $z=\pi/(2k)$ мы знаем, что магнитное поле указывает в направлении -z снаружи катушек и в направлении +z в центре. И тогда закон Ампера говорит нам, что $B_{center}+B_{outside} =\mu_0|\sigma_s|\sin \pi/2.$ И так все сводится к нахождению магнитного поля в центре катушек на плоскости в точке $z=\pi/(2k)$ . С этой стороны нет простого пути к Ampere. Но для Био-Савара это не особенно сложная задача.

я использовал $z=\pi/(2k)$ плоскости, потому что это было самое простое место, чтобы показать, что магнитное поле не равно нулю, и показать, как вы можете использовать Ефименко, Ампера и Био-Савара для решения проблемы. Использование Ampere является необязательным, и оно в основном связывает завиток с текущим заключенным, на самом деле это не сильно отличается от того, что говорят $\vec \nabla \times \vec B = \vec 0$ внутри и снаружи и имеющие условия скачка, связанные с поверхностным течением. Похоже, что магнитное поле однородно в этих двух областях на плоскости. $z=\pi/(2k)$ поэтому оба предложенных вами решения на первый взгляд выглядят несовершенными.

Но, возможно, вы пренебрегли тем, что константные функции также являются решениями $\vec \nabla \times \vec B = \vec 0$ и $\vec \nabla \cdot \vec B = 0$ ?

Спасибо за ответ. Я все еще работаю над проблемой. Я очень удивлен, что магнитное поле однородно вдоль равноотстоящих плоскостей с фиксированным z. Я искренне верил, что обмотки будут бороться друг с другом, сильно уменьшая внешнее магнитное поле.
@linuxfreebird Насколько сильно они сражаются друг с другом, зависит от числового значения kR.
Я предполагаю, что решение магнитного поля будет сепарабельным относительно $z$ и $\rho$ , это может быть не так.
Я думаю, что понял проблему. Я забыл включить граничное условие $\hat{\rho}\cdot(\bar{B}_1-\bar{B}_2)=0$ . Мое первоначальное решение было связано с зарядами магнитных монополей, которые порождали неисчезающее магнитное поле. Упс.
Я прошу прощения. Когда я сказал неисчезающее поле, я имел в виду в пределе как $k$ уходит в ноль. Я думаю, что ваше решение верно.

Можно ли применить закон Ампера к бесконечному числу чередующихся катушек Гельмгольца?

линуксфрибёрд

Кайл Канос

линуксфрибёрд

Ответы (1)

Тимей

линуксфрибёрд

Тимей

линуксфрибёрд

линуксфрибёрд

линуксфрибёрд

Граничные условия в магнитостатике - Расчет поверхностной плотности тока

Изменение полярности магнита для увеличения/уменьшения вихревых токов?

Теорема единственности в однородном электрическом поле

Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?

Граничные условия установившегося тока

Справедливость закона Ампера с точки зрения HHH

Справка по правилу правой руки: часть 1

Расчет магнитного поля вокруг провода с током произвольной длины с использованием уравнений Максвелла.

Что на самом деле измеряет вольтметр?

Магнитное поле внутри проводника и линейность вихревых токов