Гравитационная постоянная в ньютоновской гравитации против общей теории относительности

Насколько я понимаю, гравитационная постоянная грамм - константа пропорциональности, используемая Ньютоном в его законе всемирного тяготения (который был основан на законах Кеплера), а именно в уравнении Ф знак равно грамм ⋅ М ⋅ м р 2 . Позже Эйнштейн выдвинул другую теорию гравитации (основанную на принципе эквивалентности), а именно общую теорию относительности, которая пришла к выводу, что закон Ньютона был просто (довольно приличным) приближением к более сложной реальности. С математической точки зрения теория Эйнштейна полностью отличалась от теории Ньютона и основывалась на его уравнениях поля, которые также включали грамм в одном из его терминов.

Как получается, что две разные теории, вытекающие из совершенно разных постулатов, в конечном итоге имеют одну и ту же константу? грамм с одним и тем же числовым значением появляются в их уравнениях? Что именно делает грамм представлять?

Я полагаю, что способ увидеть это — решить уравнения Эйнштейна для слабого поля, грамм мю ν знак равно η мю ν + час мю ν и вы бы увидели, что оба грамм ′ с равны.

Ответы (1)

Поскольку в пределе слабых гравитационных полей должна восстанавливаться ньютоновская гравитация, неудивительно, что постоянная грамм появляется также в уравнениях Эйнштейна. Используя только инструменты дифференциальной геометрии, мы можем определить уравнения поля Эйнштейна только с точностью до неизвестной постоянной. κ :

грамм мю ν знак равно κ Т мю ν .
Что это уравнение должно сводиться к уравнению Ньютона для потенциала ф ,
(1) ∇ 2 ф знак равно 4 π грамм р
с р плотность фиксирует постоянную (2) κ знак равно 8 π грамм с 4 .

В деталях предполагается почти плоская метрика, грамм мю ν знак равно η мю ν + час мю ν куда η мю ν плоский и час мю ν маленький. Тогда из записи геодезического уравнения можно найти, что если час 00 знак равно 2 ф / с 2 , получается второй закон Ньютона,

(3) Икс ¨ я знак равно − ∂ я ф .
Используя (3) и взяв Т мю ν знак равно р ты мю ты ν для 4 скорости ты мю с малыми пространственными компонентами, 00 составляющая уравнений поля (2) равна
2 ∂ я ∂ я ф / с 2 знак равно κ р с 2 .
Чтобы сопоставить это с (1), мы должны иметь κ знак равно 8 π грамм с 4 . (Подробные расчеты здесь, как это часто бывает в теории относительности, довольно длинные и скучные, поэтому они опущены.)

Но когда мы рассматриваем слабые гравитационные поля, мы получаем не совсем закон Ньютона, а лишь довольно хорошее приближение. Означает ли это, что мы получаем несколько иной (но вполне пригодный для экспериментальной проверки) грамм , или мы получим точное числовое значение для грамм как в законах Ньютона?
@Disousa: на самом деле, для случая орбит с нулевым угловым моментом за пределами сферически-симметричного распределения масс уравнения идентичны в полной теории относительности и ньютоновском случае.
@Disousa Нет. Даже без комментария Джерри ответ все равно был бы нет. Ситуация полностью аналогична следующей задаче: определение κ ~ чтобы ф ↦ грех ⁡ ( κ ~ ф ) а также ф ↦ κ ф имеют одинаковый наклон в ф знак равно 0 . Только один κ ~ будет соответствовать счету: κ ~ знак равно κ . В этом смысле «точные числовые значения» одинаковы. Мы могли бы в конечном итоге измерить экспериментальный грамм точнее, чем когда мы знали только закон Ньютона и, таким образом, обнаружили, что нам нужно изменить наше значение грамм , но это также означало бы, что мы ....
... константа в законе Ньютона, которую мы должны использовать, также должна быть обновлена.
Гравитационная постоянная в ньютоновской гравитации против общей теории относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v