Гравитация в двумерном пространстве и обратный линейный закон

Вопрос касается одновременно и гравитации Ньютона (НГ), и гравитации Эйнштейна/ общей теории относительности (ОТО), которые являются двумя разными теориями.

1. Для ньютоновской гравитации (НГ) в 2+1D гравитационная сила обратно пропорциональна расстоянию. В более общем плане в$n$пространственные размеры, то гравитационная сила$F\propto r^{1-n}$. Это связано с законом Гаусса, потому что поверхность Гаусса$n-1$размерный. Кулоновская сила в электростатике будет иметь аналогичную радиальную зависимость, так как она тоже должна подчиняться закону Гаусса.

2. Эйнштейновская гравитация в 2+1D — это топологическая теория поля . Линеаризованный EFE не имеет распространения физических степеней свободы. Это не исключает существования, например, гравистатических эффектов из-за конических сингулярностей .

3. В 3+1D гравитация Ньютона (НГ) может быть получена из ОТО в соответствующем пределе, см., например, методы, используемые в этом посте Phys.SE. В 2+1D ОТО не имеет ньютоновского предела для нулевой космологической постоянной$\Lambda=0$. Для отрицательной космологической постоянной$\Lambda<0$, существуют черные дыры BTZ в 2+1D.

В электростатике вы можете написать$F=qQ/(4\pi\epsilon_0 r^2)$в 3D или как$\vec\nabla \cdot \vec E = \rho/\epsilon_0$и$\vec F=q\vec E.$И более поздние обобщаются на 2d как$1/r$сила.

В ньютоновской гравитации вы можете написать$F=mMG/r^2$в 3D или как$\vec\nabla \cdot \vec C = \rho 4\pi$и$\vec F=m\vec C.$И более поздние обобщаются на 2d как$1/r$сила.

Но вы можете возразить и сказать, что это не электромагнетизм, ведь в электромагнетизме есть нечто большее, чем электростатика. В n=4=3+1 пространственно-временных измерениях вы можете представить n-векторный потенциал$A$а его внешняя производная — электромагнитное поле, а$n(n-1)/2$компоненты электромагнитного поля распадаются на два (n-1)-векторных поля (относительно системы отсчета) только в 3+1-мерном пространстве-времени. Вы все еще можете разбить его на относительный (n-1)-вектор и относительный (n-1)-бивектор, который исходит из$(n-1)(n-2)/2$объемное пространство.

Точно так же вы можете сказать, что гравитация больше, чем$1/r^2$сила. У вас есть искривленное пространство-время. И у вас могут быть разные типы кривизны. Вы можете иметь вид искривления в вакууме вокруг звезды с массой M. Вы можете иметь вид искривления в вакууме вокруг звезды с массой m.

А можно сшить их между собой по сферической поверхности площади$4\pi R^2.$А если сшить снаружи$M$раствор внутренней части массы$m$решение и$M>m$то именно так некоторая энергия энергии$(M-m)c^2$можно сшить вместе два решения. Это то, что энергия делает в общей теории относительности: она берет две области, которые обычно могут быть естественными изгибами вакуума, и сшивает их вместе. И вот как кривизна становится сильной в общей теории относительности, когда материя коллапсирует, внешняя область, имеющая$M$кривизна типа распространяется глубже к центру формирующейся звезды или планеты. И этот тип кривизны становится сильнее ближе. Таким образом, коллапс материи оставляет более сильную кривизну снаружи, поскольку граница между двумя типами кривизны заканчивается в новом месте.

Это похоже на то, как в электромагнетизме радиальное электрическое поле снаружи проводника переходит в нулевое поле внутри. Оба являются вакуумными решениями, а заряд на поверхности позволяет сшить их вместе.

Но помните, как мы заменили упрощенную электростатическую силу полным электромагнитным полем, которое было внешней производной скалярного потенциала? И тогда это был совершенно другой зверь в других измерениях?

В общей теории относительности фундаментальным является искривленное пространство-время. (Точно так же, как электромагнитное поле было фундаментальной вещью в электромагнетизме.) И все, что делают источники, — это меняют решения, которые можно сшить вместе. (Точно так же, как заряды и ток позволяют электромагнитным полям расходиться и развиваться иначе, чем они могли бы иначе.)

Так же, как мы должны были изменить наш векторный потенциал на и вдруг магнитное поле стало скалярным полем, точно так же у вас есть совершенно другие вакуумные решения для работы. Сами вещи, которые исходники должны сшить воедино, различны. В измерениях 1 + 1 и 2 + 1 вакуумное пространство-время плоское, поэтому больше нечего сшивать вместе, поэтому может быть только материя где-то с кривизной, поэтому вы не можете оставить кривизну позади, когда что-то разрушится.