В большом DDD-пределе общей теории относительности возможен только вакуум?

Уравнения Эйнштейна с космологической постоянной Λ читать как:

р мю ν − 1 2 р г мю ν + Λ г мю ν "=" 8 π Т мю ν

Поэтому,

р − Д 2 р + Д Λ "=" 8 π Т

( Д число измерений пространства-времени.)

Или,

Λ "=" 8 π Т Д + ( Д − 2 2 Д ) р

Поэтому,

Λ "=" ( Д − 2 2 Д ) р 0 где р 0 "=" р в а с ты ты м

Из уравнений поля р мю ν − 1 2 р г мю ν + ( Д − 2 2 Д ) р 0 г мю ν "=" 8 π Т мю ν

Поэтому, 8 π Т "=" Д − 2 2 ( р 0 − р )

Теперь в большом Д предел, единственный способ Т можно спасти от расхождения, это сделать р подход р 0 . Это означает, что в большом Д предел, р "=" р 0 везде, т. е. большой Д предел общей теории относительности допускает только вакуумные решения.

Я публикую этот вопрос, чтобы подтвердить, является ли вывод, к которому я пришел, уместным, потому что я не встречал подобных утверждений в другом месте. Кроме того, если это уместно, означает ли это что-то интересное или более глубокое? (Иными словами, может ли это быть связано с какими-то достаточно известными фактами или принципами?)

PS: Я только что заметил, что и в 2-мерном случае (1+1-мерный) могут существовать только вакуумные решения и космологическая постоянная тоже должна обращаться в нуль. (Можно проверить тривиально, положив Д "=" 2 в формуле для Λ и Т выше.)

Итак, вы указываете скалярную кривизну ≈ р 0 а потом заявить о р мю ν ?
Хорошо, Т будучи следом, неудивительно, что он может масштабироваться как ∼ Д , так что нет ничего плохого в том, что он расходится. Другими словами, мы ожидаем Т расходиться в Д → ∞ предел, линейно в Д .
@AHusain Я знаю, что в целом нельзя утверждать, что получил р мю ν только зная р . Но здесь, поскольку р "=" р в а с ты ты м , я думаю, можно с уверенностью сказать, что р мю ν "=" ( р мю ν ) в а с ты ты м . В предельном случае Λ "=" 0 , можно увидеть это довольно ясно, как р в а с ты ты м "=" 0 в таком случае.
@AccidentalFourierTransform Но разве это не создает проблем? Например, в статическом случае это означало бы, что плотность энергии также расходится.
@Электродинамик ну предел Д → ∞ очень искусственна и нефизична. Честно говоря, я не ожидаю, что это будет корректный и интуитивно понятный лимит. Энергетическая судьба может разойтись, а может и нет. Я бы не считал расходящуюся плотность энергии проблемой: в конце концов, вы берете нефизический предел.
Бесконечные размеры @AccidentalFourierTransform также полезны во многих случаях. Точность теории среднего поля может работать на удивление хорошо.
Нет, я думаю, что это чистое предположение. Во-первых, T=0 не означает ни того, что Т мю ν = 0. На самом деле Т "=" р − 3 п , так что это либо вакуум, либо нарушает условие положительной энергии, однако не так плохо, как темная энергия. Вам придется доказать, что T=0 подразумевает вакуум, а у вас его нет. Вы сделали много выводов и не доказали ни один из них. Я действительно думаю, что D ---> бесконечность, по-видимому, означает, что если не вакуумировать, энергия и другие сущности также уйдут в бесконечность.
Примечание. Вас может заинтересовать arxiv.org/abs/1302.6382 и последующие статьи Эмпарана и его коллег, посвященные черным объектам в большом пределе D.

Ответы (1)

Да, более высокие измерения изменяют то, как материя является источником гравитации; одним конкретным примером является теорема об отслаивании (см. Godazgar, Real Peeling of the Weyl tensor and gravitation radiation in более высоких измерений и ссылки в нем) - гравитация падает быстрее с ростом Д . Но нужна конкретная физическая модель, чтобы превратить эти математические утверждения в какой-либо реальный физический вывод.

Выводы типа «в системе допускаются только вакуумные растворы». Д → ∞ limit" бессмысленны без надлежащего физического контекста, потому что невакуумные решения, безусловно, разрешены для каждого члена предельной последовательности.

Я могу только представить, что ваше утверждение означает что-то вроде следующего: «Если у нас есть эти и эти фиксированные плотности материи (количество частиц, температуры,...), и эти и эти масштабы фундаментальных констант (помните, что обе скорости свет и гравитационная постоянная Ньютона — константы, фиксированные феноменологически реальными физическими явлениями и остающиеся скрытыми в ваших геометризированных единицах), решения будут сходиться к вакуумным решениям как Д → ∞ ."

Однако даже так вы не сможете заставить такие утверждения работать без конкретной модели материи. Например, тензор энергии напряжения любых безмассовых частиц, таких как фотоны, не имеет следов. Т.е. существуют пространства-времена с р "=" р 0 которые, конечно, не вакуумные, и весь аргумент ломается.

Итак, я просто быстро расскажу о том, что следует за р − р 0 для одной конкретной модели идеальная жидкость.

Рассмотрим релятивистскую идеальную жидкость, для которой жидкость с энергией напряжений в сопутствующей системе отсчета имеет вид

( ε 0 ⋯ 0 0 п ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ п )
Трассировка фрейм-инвариантна, поэтому мы сразу видим Т "=" ε − ( Д − 1 ) п . Т.е. хотя бы часть тензорных шкал с Д , так что след тензора энергии-импульса, по-видимому, не становится пренебрежимо малым в больших Д предел.

Давайте оценим энергию/температуру, предположив, что мы имеем дело с идеальным газом. (температуру я обозначаю через Т так что его не путать со следом энергии напряжения.) Нерелятивистское приближение для идеального газа выполняется до тех пор, пока Д к Б Т ≪ м ( м масса частиц газа), но наша Д будет бесконечным, поэтому мы фактически можем перейти непосредственно к ультрарелятивистскому пределу Д к Б Т ≫ м . для любой конечной температуры.

В этом пределе имеем ε ≈ Д н к Б Т , п "=" н к Б Т , где н - числовая плотность частиц. Затем вы видите, что трассировка просто Т "=" н к Б Т и тепловой вклад в р − р 0 падает как 1 / Д .

Однако энергия, необходимая для нагрева газа до этой температуры, зависит от Д . Т.е. при фиксированном количестве тепловой энергии, вложенной в расчете на одну частицу, и при фиксированных плотностях частиц в единице объема вклад в р − р 0 падает как 1 / Д 2 .

Рассмотрим другой пример, для газа при нулевой температуре («пыли») имеем п "=" 0 и ε "=" м н . м н это просто плотность энергии покоя и ее вклад в р − р 0 падает как 1 / Д . То есть можно сделать вывод, что по крайней мере для идеального газа и фиксированного количества энергии на единицу объема р − р 0 всегда будет падать по крайней мере так же быстро, как 1 / Д .

Честно говоря, трудно найти интуитивные аргументы в пользу этого, потому что это, конечно, не так. р − р 0 → 0 обязательно означает ослабление гравитации. Это связано с тем, что полные уравнения Эйнштейна (с соответствующим масштабированием космологической постоянной) могут по-прежнему взаимодействовать с материей почти таким же образом. р − р 0 → 0 просто означает, что характер гравитации меняется в большом измерении на своего рода конформно-связанную гравитацию. (Здесь нет ничего удивительного, мы знаем, что даже в Д "=" 5 многое меняется по сравнению с Д "=" 4 .)

Кроме того, я бы по-прежнему был очень осторожен в оценке того, что гравитация большого размера делает р − р 0 исчезнуть, не обращаясь к структуре, в которой вы работаете. Одна из причин заключается в том, что в зависимости от того, как вы связываете свою многомерную гравитацию с реальностью, у вас может быть ∼ Д фактор, встроенный в гравитационную постоянную перед тензором энергии-импульса в уравнениях Эйнштейна, чтобы согласоваться даже с самой грубой ньютоновской феноменологией на некоторой (эффективной/интегрированной/привилегированной) четырехмерной гиперповерхности, представляющей нашу вселенную.

Я хотел бы отметить, что космологическая постоянная и постоянная тонкой структуры имеют размерности, зависящие от Д ( с и ℏ не зависеть от Д и спрятаны здесь. Также : Λ ∼ л − 2 независимо от Д ):
г ∼ л Д − 2 , α ∼ л Д − 4 .
Таким образом, неудивительно, что эти константы могут получить Д -фактор, «спрятанный» в них. Этот Д Меня всегда впечатляла зависимость, и я не знаю, какую «метафизику» мы могли бы вывести из этого аспекта.
В большом DDD-пределе общей теории относительности возможен только вакуум?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v