Гравитация в измерениях пространства-времени ddd

Question

Гравитация в измерениях пространства-времени ddd

Анонимный

Учитывая следующее действие

С "=" \frac{1}{16 π г} \int д^{4} Икс \sqrt{- г} (р + а р^{2} + б р_{мю ν} р^{мю ν} + с р_{мю ν λ о} р^{мю ν λ о}),

$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x \sqrt {-g}(R+aR^2+bR_{\mu\nu}R^{\mu\nu}+cR_{\mu\nu\lambda\sigma}R^{\mu\nu\lambda\sigma}),$ который находится в 4D.

Как мы можем обобщить это действие в $d$ измерение пространства-времени? Для чего мне понадобится конкретная форма скалярной кривизны, тензор Риччи и тензор Римана.
Также я хочу знать, если коэффициент пропорциональности $\frac{1}{16\pi G}$ изменения?

Отредактировано, чтобы добавить: один из способов, которым я могу ответить себе, - это написать тензор Римана с точки зрения тензора Вейля как

р_{мю ν р о} "=" С_{мю ν р о} + \frac{1}{Д - 2} (г_{мю р} р_{ν о} + р_{мю р} г_{ν о} - г_{ν р} р_{мю о} - р_{ν р} г_{мю о}) - \frac{1}{(Д - 1) (Д - 2)} р (г_{мю р} г_{ν о} - г_{мю о} г_{ν р})

$R_{\mu\nu\rho\sigma}=C_{\mu\nu\rho\sigma}+\frac{1}{D-2}(g_{\mu\rho}R_{\nu\sigma}+R_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\nu\rho}R_{\mu\sigma}-R_{\nu\rho}g_{\mu\sigma})-\frac{1}{(D-1)(D-2)}R(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})$ где можно использовать сокращение для получения

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ и

R

$R$ . Но есть ли способ проще?

Джерри Ширмер

Измените 4 на d. Единственное, что характерно для четырех измерений, — это мера.

пользователь67742

Да, но тогда значение скалярной кривизны, тензора Риччи и тензора Римана в d-измерении? также, что будет изменение для

\frac{1}{16 π G}

$\frac{1}{16\pi G}$

Фотон

Конечно, вам нужно работать с

d

$d$ -размерная метрика и пересчитать

R

$R$ ,

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ и

R_{μ ν λ σ}

$R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ для

d

$d$ -мерная метрика.

π

$\pi$ является универсальной константой, хотите ли вы изменить

G

$G$ зависит от тебя.

пользователь67742

Думаю, теперь вопрос более ясен.

Фотон

Кривизны могут быть рассчитаны из метрики так же, как для

d = 4

$d=4$ потому что эти формулы не зависят от размерности. Только метрика теперь отличается.

Андрей

В качестве подсказки, каковы измерения (единицы) для: (1) действия [должно быть независимым от пространственно-временного измерения], (2) меры, (3) кривизны и, наконец, что не менее важно в этом вопросе, (4 )

G

$G$ ?

ДжамалС

Выражения для кривизны в терминах общей метрики никогда не изменятся , если вы измените размерность,

d

$d$ . Однако они могут допускать альтернативные, более удобные эквивалентные выражения, например, в случае

d = 2

$d=2$ .

Артур Суворов

В

4

$4$ размеры

R^{2} - 4 R_{μ ν} R^{μ ν} + R_{α β γ δ} R^{α β γ δ}

$R^2 - 4 R_{\mu \nu} R^{\mu \nu} + R_{\alpha \beta \gamma \delta} R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ образует инвариант Гаусса-Бонне и тривиально интегрируется до нуля. Ваше действие в

4

$4$ размеры эквивалентны тому, что вы написали с

c = 0

$c=0$ , пока в

d > 4

$d > 4$ , динамика будет другой, когда

c \neq 0

$c \neq 0$ .

Ответы (1)

Гравитация в измерениях пространства-времени ddd

Измените 4 на d. Единственное, что характерно для четырех измерений, — это мера.
Да, но тогда значение скалярной кривизны, тензора Риччи и тензора Римана в d-измерении? также, что будет изменение для $\frac{1}{16\pi G}$
Конечно, вам нужно работать с $d$ -размерная метрика и пересчитать $R$ , $R_{\mu\nu}$ и $R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ для $d$ -мерная метрика. $\pi$ является универсальной константой, хотите ли вы изменить $G$ зависит от тебя.
Кривизны могут быть рассчитаны из метрики так же, как для $d=4$ потому что эти формулы не зависят от размерности. Только метрика теперь отличается.
В качестве подсказки, каковы измерения (единицы) для: (1) действия [должно быть независимым от пространственно-временного измерения], (2) меры, (3) кривизны и, наконец, что не менее важно в этом вопросе, (4 ) $G$ ?
Выражения для кривизны в терминах общей метрики никогда не изменятся , если вы измените размерность, $d$ . Однако они могут допускать альтернативные, более удобные эквивалентные выражения, например, в случае $d=2$ .
В $4$ размеры $R^2 - 4 R_{\mu \nu} R^{\mu \nu} + R_{\alpha \beta \gamma \delta} R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ образует инвариант Гаусса-Бонне и тривиально интегрируется до нуля. Ваше действие в $4$ размеры эквивалентны тому, что вы написали с $c=0$ , пока в $d > 4$ , динамика будет другой, когда $c \neq 0$ .

ДжамалС · Answer 1

С точки зрения метрики $g_{ab}$ , тензор кривизны Римана определяется выражением

р_{б с д}^{а} "=" \partial_{с} Г_{д б}^{а} - \partial_{д} Г_{с б}^{а} + Г_{с е}^{а} Г_{д б}^{е} - Г_{д е}^{а} Г_{с б}^{е}

$R^a_{bcd} = \partial_c \Gamma^a_{db} - \partial_d \Gamma^a_{cb} + \Gamma^a_{c e} \Gamma^e_{d b} - \Gamma^a_{de} \Gamma^e_{c b}$

и, следовательно, изменение $d$ не меняет формулу , хотя, конечно, действительные численные меры кривизны могут измениться. Тем не менее, бывают случаи, когда есть дополнительные, эквивалентные выражения, потому что в некоторых измерениях все может упроститься. Для случая $d=2$ , у нас есть,

р_{а б с д} "=" \frac{1}{2} р (г_{а с} г_{б д} - г_{а д} г_{б с})

$R_{abcd} = \frac{1}{2}R \left(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc} \right)$

удобное выражение из-за симметрии тензоров. Он показывает, что в двух измерениях тот факт, что $R=0$ достаточно, чтобы подразумевать $R_{abcd} = 0$ , т.е. полная риманова плоскостность. Обычно это не так для произвольного размера, $d$ , и это не так в $d=4$ (где мы обычно делаем общую теорию относительности).

Следовательно, ваше выражение не требует каких-либо корректировок для общего $d$ , кроме $4 \to d$ . При этом, если вы решите перейти от $4$ сказать, $2$ размеры, некоторые термины могут быть упрощены, поскольку, например, $^\dagger$

\frac{1}{4 π} \int_{М} д^{2} Икс \sqrt{г} р "=" х (М)

$\frac{1}{4\pi} \int_M d^2x \, \sqrt{g} \, R = \chi(M)$

является топологическим инвариантом, эйлеровой характеристикой многообразия. При этом следует помнить, что изменение размера $d$ действия может иметь важные феноменологические и физические следствия, поскольку, например, перенормируемость зависит от $d$ .

$\dagger$ Это следствие теоремы Черна-Гаусса-Бонне , которая, в свою очередь, может быть показана как следствие теоремы Атьи-Зингера об индексе , более общего результата. Обратите внимание, что это применимо, если и только если $M$ компактен.

Спасибо @JamalS, да, как вы упомянули, общая форма тензора Римана задается вашим 1-м выражением. Я спрашиваю, что вы делали в 2- $d$ но в н- $d$ . какова будет форма меры? какой должна быть форма Chrisoffel Symbolds для начала и т. д.
@Илья Все то же самое. Мера в $d$ размеры просто $d^d x \, \sqrt{|g|}.$
Хорошо, позвольте мне понять это правильно. Тензор Римана определяется как $р_{р о мю ν} "=" \frac{1}{2} (\partial_{мю} \partial_{о} г_{р о} - \partial_{мю} \partial_{р} г_{ν о} - \partial_{ν} \partial_{о} г_{р мю} + \partial_{ν} \partial_{р} г_{мю о})$ $R_{\rho\sigma\mu\nu}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\partial_{\sigma}g_{\rho\sigma}-\partial_{\mu}\partial_{\rho}g_{\nu\sigma}-\partial_{\nu}\partial_{\sigma}g_{\rho\mu}+\partial_{\nu}\partial_{\rho}g_{\mu\sigma})$ одинаково ли это определение в d-измерении? так как, например, в d=2 это упрощено.
@Ilia Это недействительно для общего $d$ размеры.
это именно мой первоначальный вопрос @JamalS, какой он будет в d-измерении? также какова будет форма тензора Риччи и скалярной кривизны в d-измерении?
@Ilia Но я сказал вам в своем ответе, что формула не меняется ни в коем случае. $d$ размеры!

Гравитация в измерениях пространства-времени ddd

Анонимный

Джерри Ширмер

пользователь67742

Фотон

пользователь67742

Фотон

Андрей

ДжамалС

Артур Суворов

Ответы (1)

ДжамалС

пользователь67742

ДжамалС

пользователь67742

ДжамалС

пользователь67742

ДжамалС

Тензор энергии-импульса от действия поля материи

Действие системы Эйнштейна-Максвелла для произвольных размерностей

Размерная редукция многомерного действия Эйнштейна-Гильберта

Почему физики говорят, что пространство-время не изгибается «в» или «вне» четвертого измерения?

Как общая теория относительности возникает из гравитации Бранса-Дикке с бесконечным параметром омега?

Ограничения на действие Эйнштейна-Гильберта

Замена ковариантной производной U(1)U(1)U(1) на ковариантную производную GL(4,R)GL(4,R)GL(4,\mathbb{R})... дает ли это квантовую гравитацию?

Почему так совпадает то, что вариация Палатини действия Эйнштейна-Гильберта приведет к уравнению, что связь есть связь Леви-Чивиты?

Минимальная и неминимальная связь в общей теории относительности

В большом DDD-пределе общей теории относительности возможен только вакуум?