Откуда мы могли знать, что релятивистская кривизна Вселенной является внутренней?

Насколько я понимаю, вопрос, похоже, заключается в том, как отличить внутреннюю кривизну$d= 3$многообразие$\Sigma$от внешней кривизны вместо некоторой$\Sigma \subset M$для$d=4$многообразие$M$.

В дифференциальной геометрии существует формализм Гаусса и Кодацци, который выражает связь между кривизной подмногообразия и многообразием, в которое оно вложено. В частности, для некоторых$\Sigma \subset M$у одного есть такое,$^\dagger$

где$h$является основной формой на$\Sigma$и$K$внешняя кривизна$\Sigma$для$i$й нормали, число которых совпадает с соразмерностью$\Sigma$.

Таким образом, внутренняя кривизна подмногообразия$\Sigma \subset M$имеет вклад от внутренней кривизны многообразия, в которое оно вложено, а также от своей собственной внешней кривизны, которая сама является своего рода следствием вложения.

Таким образом, все кривизны взаимосвязаны. Если бы у нас была трехмерная вселенная, о которой мы думали, что она вообще не встроена, тогда не было бы никаких вкладов от$K$к внутренней кривизне многообразия.

Перестроив уравнение Гаусса-Кодацци, можно увидеть, что если бы у нас была трехмерная вселенная (или некоторая гиперповерхность), встроенная в четырехмерную, то внешняя кривизна получает вклад от внутренней кривизны обоих в некотором смысле многообразие.

$\dagger$неоднозначность знака,$\pm$, связано с тем, что если для конкретного$i$,$i$нормальный$n_i$является времениподобным, т.$n_in^i >0$то один вычитает, и если$n_i n^i < 0$, то вместо этого добавляется вклад. Для риманова многообразия вполне положительной сигнатуры это всегда минус.

@Jamal показал хороший способ его расчета и то, что они могут быть несколько переплетены. Тем не менее, для космологического решения легко увидеть, что вызывает искривление, а что искривлено. Хороший способ понять это — решить уравнения общей теории относительности. Если вы сделаете это для d = 4, с одним из временных измерений, вы получите метрику Робертсона-Уокера, а для смоделированных уравнений состояния (которые учитывают материю, излучение и, если ввести космологическую постоянную, темную энергию) получают полное решение FLRW.

Метрическое решение можно записать как, с k = 0, 1 или -1,

с пунктом в квадратных скобках метрика постоянной кривизны k пространственного сечения, а последний член просто угловые компоненты

Вы можете вычислить кривизну, но ясно, что пространственное сечение имеет внутреннюю кривизну k, а пространственные срезы растут с линейным масштабным коэффициентом a(t) в каждом пространственном измерении.

Скаляр Риччи R, который является инвариантной мерой кривизны 4d, зависит от k и a (t). См. ссылку на Википедию ниже для точной зависимости. Это говорит о наличии искривления пространства-времени, и это верно, даже если k = 0, что дает плоские пространственные срезы.

Так что да, пространство может быть искривлено (космологические данные имеют k = 0 с точностью до нескольких процентов, то есть плоское пространство), но пространство-время определенно искривлено, если a(t) изменяется, что, как мы знаем, происходит.

См. вики по адресу https://en.m.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker_metric .

Это внутренняя кривизна, для пространства-времени, и для пространственных срезов видно, где вклад, если k не равно нулю, и что в противном случае они имеют нулевую кривизну. Статья в вики дает вам ненулевые условия для компонентов 4d Риччи, и на самом деле$R_{tt}$пропорциональна второй производной a(t). Другие компоненты Риччи также зависят от производных a(t).

Вы можете сделать все это, не вызывая никаких других измерений.

Хороший способ понять это — решить уравнения общей теории относительности. Если вы сделаете это для d = 4, с одним из временных измерений, вы получите метрику Робертсона-Уокера, а для смоделированных уравнений состояния (которые учитывают материю, излучение и, если ввести космологическую постоянную, темную энергию) получают полное решение FLRW.

Метрическое решение можно записать так: если для простоты мы возьмем пространственно плоский случай, которому благоприятствуют космологические данные (и не

с пунктом в квадратных скобках метрика постоянной кривизны k пространственного сечения, а последний член просто угловые компоненты

Вы можете рассчитать кривизну, но ясно, что пространственная секция имеет кривизну k, а пространственные срезы растут с линейным масштабным коэффициентом a(t) в каждом пространственном измерении.

Скаляр Риччи R, который является инвариантной мерой кривизны 4d, зависит от k и a (t). См. ссылку на Википедию ниже для точной зависимости. Это говорит о наличии искривления пространства-времени, и это верно, даже если k = 0, что дает плоские пространственные срезы.

Так что да, пространство может быть искривлено (космологические данные имеют k = 0 с точностью до нескольких процентов, то есть плоское пространство), но пространство-время определенно искривлено, если изменяется a(t), что, как мы знаем, происходит.

Все это внутренние искривления пространства-времени и любых пространственных срезов.

Ответ находится в «законе обратных квадратов». Гравитация следовала бы закону обратного куба, если бы использовала 4-е измерение для искривления. Гравитация знает только три измерения. В 5-мерной вселенной гравитация будет подчиняться закону обратной четвертой степени и так далее.

Поскольку закон обратных квадратов остается в силе в «наиболее реалистичных сценариях», это указывает на то, что во Вселенной существует не более трех пространственных измерений.

Поэтому любое искривление должно быть внутренним.