Группа Лоренца и классификация полей по их преобразованию при преобразованиях Лоренца

Обратите внимание, что частицы соответствуют неприводимым унитарным представлениям группы Пуанкаре (также известной как неоднородная группа Лоренца), а не только группе Лоренца.

В этих представлениях Пуанкаре состояния представлены$|p, \lambda \rangle$.$p$это импульс.

Рассмотрим положительные массивные представления ($p^2 = m^2, p^o >0$) Позволять$\pi=(m,\vec 0)$. Мы видим, что у нас есть свобода выбора поляризации, которая соответствует$S0(3)$симметрия. Глядя на унитарные представления$SO(3)$это то же самое, что смотреть на представления$SU(2)$

Здесь,$\lambda$является государственной основой для небольшой группы$SU(2)$представление$s$.

Для перевода имеем:

$$U(a)|p, \lambda \rangle = e^{ iP.a}|p, \lambda \rangle$$

Для члена$R$из маленькой группы$SU(2)$, у нас есть :

$$U(R)|\pi, \lambda \rangle = \sum_{\lambda'} D^{(s)}_{\lambda' \lambda}(R)|\pi, \lambda' \rangle$$

Для любого$SL(2,C)$матрица$A$, и для любого$p$, можно написать выражение:

$$U(A)|p, \lambda \rangle = \sum_{\lambda'} D^{(s)}_{\lambda' \lambda}(W(p, A))| \Lambda_ap, \lambda' \rangle$$ где $W(p,A)$это $SU(2)$маленький групповой элемент (см. формулу $18$в приведенной ниже ссылке для деталей)

При всем этом вы получаете унитарное представление группы Пуанкаре.

«Пространство Фока» является квантовой версией этих представлений, то есть допускает состояния нескольких частиц.

См. справочные страницы 4 и 5.

[EDIT] «Для полей не важно иметь лоренц-инвариантную положительно определенную норму?»

Нет. Возьмем, к примеру, уравнения Дирака для биспинорного поля. Представление$(1/2,0) + (0,1/2)$. Это не унитарное представление. Есть левый и правый спинор. Преобразование можно записать:

$$\psi_{L,R} =\rightarrow e^{1/2(i\vec \sigma. \vec \theta \mp \vec \sigma. \vec \phi)}\psi_{L,R},$$

Параметры$\vec \theta$соответствуют вращениям, параметры$\vec \phi$соответствуют надбавкам.

Поскольку буст-часть не является унитарной, мы ясно видим, что представление не является унитарным.

Итак, это означает, что биспинорное билинейное выражение$\psi^* \psi = \psi^*_{L}\psi_{L} + \psi^*_{R}\psi_{R}$не сохраняется в преобразовании Лоренца [фактически отдельно спинорные билинейные выражения$\psi^{*}_{L} \psi_{L}$или$\psi^{*}_{R} \psi_{R}$тоже не сохраняются]. Помните, что здесь$\psi,\psi_{L}, \psi_{R}$являются полями, а не «волновой функцией».

Это проблема? Нет.

Что$\psi^*(x) \psi(x)$? Это просто (умножить на$e$) плотность заряда полей, т.е.$j^0(x)$

Итак, конечно,$j^0(x)$не является инвариантом преобразования Лоренца, потому что это временная составляющая вектора Лоренца.

Настоящий инвариант Лоренца находится здесь:$\overline \psi(x) \psi(x)= \psi^*(x) \gamma^0 \psi(x)$