Симметрия спиновой функции

Я предполагаю, что ваша система содержит три частицы со спином 1/2. С обозначением$\vert s,m\rangle$, ясно, что

$$\vert 3/2,3/2\rangle = \vert \textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_1 \vert \textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_2 \vert \textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_3$$ симметричен относительно перестановки индексов частиц. Другой $\vert 3/2,m\rangle$также будут симметричными, поскольку до них можно добраться из $\vert 3/2,3/2\rangle$применяя $L_-$, где $$L_- = L^{(1)}_-+L^{(2)}_-+L^{(3)}_-$$ также симметричен относительно перестановки меток частиц и поэтому не может изменить симметрию перестановки состояний, на которые он действует. (Здесь, $L^{(k)}_-$есть понижающий оператор, действующий на частицу $k$один.)

Обратите внимание, что если у вас есть$5$частицы, то$\vert 3/2,3/2\rangle$состояние НЕ было бы симметричным, и, таким образом, все$J=3/2$мультиплет также не будет симметричным.