Группы лжи и расширения групп?

Поскольку я получил некоторое представление о том, «где вы находитесь» в вашем обучении, и проявил значительный энтузиазм в отношении полного понимания основ, я хотел бы добавить некоторые подробности (от физика, не занимающегося элементарными частицами, заметьте, так что Я должен избегать многих аспектов вашего вопроса) на отличный ответ Любоша. Кроме того, в своем вопросе вы говорили о полях расширения и аналогиях с группами Ли, и это наводит меня на мысль, что вы думаете об аналогиях между теорией Ли и теорией Галуа, поэтому я коснусь и этой идеи: сходства действительно есть, и это было именно так. Желание Ли создать теорию непрерывных групп «Галуа», которое привело его к основанию теории Ли.

---

Что скобка лжи помнит о группе: Теорема Бейкера Кэмпбелла Хаусдорфа

Давайте завершим прекрасное интуитивное утверждение Любоша: «Однако кривизна сферы (группы Ли) полностью запоминается коммутирующей операцией на алгебре Ли». Другой вариант этого памятного утверждения состоит в том, что «алгебра Ли кодирует почти всю информацию о группе Ли». Если вы помните их, вы не ошибетесь. Я бы немного не согласился с «полностью помнил» Любоша, но это очень близко к промаху, так что вот несколько последних кусочков головоломки; вы можете видеть, что нужно что-то еще, поскольку две разные группы Ли могут иметь точно такую ​​​​же алгебру Ли, например, пара$SU(2)$и$SO(3)$а также (другой пример) пара$U(1)$, который является компактным, и некомпактным$(\mathbb{R},\,+)$(последний изоморфен$(\mathbb{R}^+\sim\{0\},\,\times)$).

Утверждение Любоша (Любош, поправьте меня, если это не совсем точное представление ваших слов) закодировано в Теореме Бейкера Кэмпбелла-Хаусдорфа . Экспоненциальное отображение окрестностей начала координат в векторном пространстве алгебры Ли (назовем его$\mathfrak{g}$) один к одному на окрестности единицы в группе Ли$\mathfrak{G}$: локально правильно определенный логарифм делает обратное. Тогда можно показать, что существует окрестность$\mathbf{N}\subset\mathfrak{g}$(он должен быть «достаточно мал», как определено подходящей метрикой в$\mathfrak{g}$) такое, что для$X,\,Y\in\mathbf{N}\subset\mathfrak{g}$(и так$e^A,\,e^B\in \mathfrak{G}$) Eсть$Z\in\mathfrak{g}$такой, что$e^X\,e^Y = e^Z\in \mathfrak{G}$и:

$Z = X + Y + \frac{1}{2} [X,\,Y] + \frac{1}{12}[X,\,[X,\,Y]] - \frac{1}{12}[X,\,[Y,\,X]] + ...$

где ВСЕ члены включают только скобку Ли (коммутатор). Точные коэффициенты в этой формуле записать чрезвычайно сложно (существует грозная формула Дынкина, см. [Россманн] в главе 1 (ссылки привожу в конце)), но их точные значения для этого не важны. обсуждение. Важно то, что формула BCH включает только скобки Ли, суммы и скалярные умножения, поэтому частичные суммы ничего не дают за пределами алгебры Ли; более того, он сходится в достаточно малой окрестности нулевого вектора, поэтому он должен сходиться к члену алгебры Ли (алгебры Ли, также являющиеся векторными пространствами, как вы знаете, замкнуты, следовательно, предел находится в алгебре Ли). Таким образом, формула БЧХ «возвращает групповое умножение обратно через экспоненциальную функцию».

---

Что скобка лжи не «помнит» о группе: глобальная топология и фундаментальная группа

Но в определении нелинейной по-прежнему остается некоторая «место для маневра» (двусмысленность: существует более одного способа последовательного определения экспоненты).$\exp$отображение алгебры в группу - эквивалентно - неоднозначность в определении группового умножения. Чтобы понять это, посмотрите на две разные формулы Родригеса, отображающие одну и ту же алгебру Ли.$su(2) \cong so(3)$к топологически разным$SU(2)$и$SO(3)$:

$$\begin{array}{rll} su(2)\mapsto SU(2):& H_{2\times 2}\mapsto\exp\left(H_{2\times 2}\right)=\cos\left(||H_{2\times 2}||\right)\;I_{2\times 2} +\frac{\sin\left(||H_{2\times 2}||\right)}{||H_{2\times 2}||}\, H_{2\times 2}\\ so(3)\mapsto SO(3):& H_{3\times 3}\mapsto\exp\left(H_{3\times 3}\right)=I_{3\times3}+\frac{\sin\left(||H_{3\times 3}||\right)}{||H_{3\times 3}||}\,H_{3\times 3} +\frac{1-\cos\left(||H_{3\times 3}||\right)}{||H_{3\times 3}||^2}\,H_{3\times 3}^2\\ \end{array}$$

где:

$$H_{2\times2} = \left(\begin{array}{cc}i\,z&i\,x+y\\i\,x- y&-i\,z\end{array}\right)\quad\quad H_{3\times3} = \left(\begin{array}{ccc}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{array}\right)$$

и$||H_{2\times2}||=||H_{3\times3}||=\sqrt{x^2+y^2+y^2}$. (В$SO(3)$формула BCH имеет выражение в «закрытой форме», см. [Engø], и аналогичное выражение в закрытой форме для$SU(2)$следует теми же «трюками»). В каждом случае используется один и тот же экспоненциальный ряд Тейлора, просто нелинейность проявляется по-разному в каждом случае из-за работы теоремы Кэли-Гамильтона над разными характеристическими уравнениями, удовлетворяемыми$H_{2\times2}$и$H_{3\times3}$.

Последним компонентом всего этого, как обнаружил в 1925 году Отто Шрайер, является глобальная топология группы Ли (см. [Stillwell] главу 8), и эта информация закодирована в группе:

• Фундаментальная группа , которая является дискретной группой всех гомотопических классов, определяемых петлями, проходящим через единицу группы. Строго говоря, в каждой точке внутри группы нужно указать разные фундаментальные группы, но в связной группе Ли (или любом другом связном многообразии) все они изоморфны. Итак, у нас есть результат, который завершает памятное утверждение Любоша в связанном случае:

Связная группа Ли полностью определяется алгеброй Ли («памятью» коммутаторов) вместе с «этой» фундаментальной группой.

• В дополнение к вышеизложенному необходима дискретная группа непересекающихся несвязных смежных классов , чтобы полностью задать группу Ли с различными нетривиальными компонентами связности: например, компонент тождественной связности$SO^+(1,3)$группы Лоренца («собственные, отохронные» преобразования, сохраняющие ориентацию пространства и направление времени) является нормальной подгруппой всей группы Лоренца$O(1,3)$и дискретная группа смежных классов$O(1,3)/SO^+(1,3)$является четырехгруппой Клейна$V_4$(включая$I, P, T$и$P\cdot T$где$P$матрица пространственной инверсии$\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$и$T$матрица обращения времени$\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$).

Чтобы проиллюстрировать эту глобальную топологию для нашего$SO(3)$,$SU(2)$пример:$SO(3)$не просто связано, как, надеюсь, вы можете понять, взглянув на мой грубый рисунок ниже:

Здесь вы должны представить себе все операторы вращения в$SO(3)$как точки в компактифицированном евклидовом пространстве: это можно рассматривать как компактифицированную версию алгебры Ли, но не слишком зацикливайтесь на том, что это связано с алгеброй: на рисунке изображена сфера радиуса$\pi$но это особая сфера, на поверхности которой «идентифицируются» пары точек-антиподов, которые считаются одной и той же точкой. Чтобы нарисовать угол поворота$\theta$вокруг оси, определяемой единичным вектором$(\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)$, мы сначала ограничиваем углы, чтобы они лежали в интервале$(-\pi, \pi]$так что мы получаем$\theta\mapsto\theta^\prime = \theta + 2\,k\,\pi\in(-\pi, \pi]$путем отсечения неважных кусков целого числа$k$кратные$2\pi$, то мы рисуем вектор длины$\theta^\prime$хвостом в начале (идентичность группы) и в направлении$(\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)$: точка в начале вектора однозначно представляет любой элемент в$SO(3)$. Теперь мы думаем о фундаментальной группе$SO(3)$; существует гомотопический класс путей типа$\Gamma$которые можно непрерывно сжимать до точки и т.п.$\Omega$что не может. Представьте, что вы едете на$C^1$путь$\Omega$через группу Ли: когда мы достигнем точки$P$и чуть-чуть дальше, мы оказываемся на «противоположной стороне» сферы, сразу за точкой$P^\prime$диаметрально противоположное$P$. Мы продолжаем идти по этому пути$\Omega$пока мы не вернемся к личности. Должно быть ясно, что цикл типа$\Omega$не может быть непрерывно сжат обратно к точке в идентичности: поскольку путь выходит из точки-антипода (на самом деле это одна и та же точка в нашем определении), как только он пересекает поверхность сферы, нам нужно «вытянуть путь назад, хотя$P$", так что мы можем вернуться к исходной точке, но мы не можем этого сделать, так как путь соединяется за пределами$P^\prime$тождеству, поэтому гомотопический класс$\Omega$является элементом фундаментальной группы$\pi_1(SO(3))$из$SO(3)$отличается от тождества и поэтому$\pi_1(SO(3))$не тривиально. Однако должно быть довольно очевидно видеть гомотопию между$\Omega$и его обратная петля ( т.е. $\Omega$запустить в обратном направлении): просто поверните этот путь через$180^o$на моем рисунке выше о происхождении ( т.е. тождестве$I$). Так что эта петля не похожа на наматывание петли через тор: мы можем непрерывно деформировать$\Omega$в обратное, тогда как невозможно заставить стрелки указывать в другую сторону на петле со стрелками, нарисованными на ней, продетой через тор, не разорвав предварительно петлю. Итак, наша фундаментальная групповая презентация$\pi_1(SO(3))=\left<\Omega\,|\, \Omega^2=1\right>\cong\mathbb{Z}_2$.

Мы можем сформировать универсальное покрытие (см. вики-страницу о группах покрытия )$SO(3)$найти односвязную группу (для этого есть стандартная конструкция, подробно описанная на странице Wiki), и в этом случае мы получим односвязную группу$SU(2)$как универсальная накрывающая группа. Если$\mathfrak{G}$— связная группа Ли с универсальным накрытием$\tilde{\mathfrak{G}}$, то фундаментальная группа$\pi_1(\mathfrak{G})$задается фактор-группой$\pi_1(\mathfrak{G})\cong \tilde{\mathfrak{G}}/\mathfrak{G}$: в этом случае фактор-группа$\mathbb{Z}_2$, включающий гомотопический класс таких петель, как$\Gamma$на рисунке выше (тождество$\pi_1(SO(3))$) и класс петель типа$\Omega$. Еще один способ визуализировать это — использовать очень изящный «трюк тополога с поясом» (иногда его называют трюком с поясом Дирака), но я немного приукрашиваю, так что вам лучше посмотреть этот трюк — его очень весело демонстрировать маленьким детям. примерно в возрасте семи лет или старше, поскольку я обнаружил, что это вызывает у них сильное чувство удивления. Оба$\omega\in SU(2)$и$-\omega\in SU(2)$образуют смежный класс в$SU(2)$сопоставляется с одним и тем же элементом$SO(3)$стандартным гомоморфизмом, который восстанавливает матрицы вращения из$SU(2)$элементы. Фундаментальная группа для группы Ли (на самом деле, любой топологической группы) всегда абелева, так что группа Ли представляет собой очень специальный, ограниченный вид многообразия (многообразия вообще могут иметь любую свободную группу с конечным числом порождений в качестве своей фундаментальной группы). Универсальная крышка имеет дискретный центр$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$(=подгруппа элементов, которые коммутируют со всеми элементами$\tilde{\mathfrak{G}}$) и множество всех различных возможных групп Ли с одной и той же алгеброй Ли$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(\mathfrak{G}) = \operatorname{Lie}(\tilde{\mathfrak{G}})$находится во взаимно однозначном соответствии с подгруппами центра$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$универсальной накрывающей группы: мы считаем тривиальную группу и все$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$здесь и присоединенное представление ( см. вики-страницу с этим именем )$\mathfrak{G}$соответствует тривиальной подгруппе$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$и максимально далек от односвязности, а универсальная покрывающая группа соответствует всей$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$. Эти возможности исчерпывают все возможные группы Ли с одной и той же алгеброй Ли.$SO(3)$является присоединенным представлением, согласно которому$SU(2)$действует на своей алгебре Ли$su(2)$и$SO(3)$является собственным присоединенным представлением. Присоединенное представление аннулирует центр группы, являющийся ядром представления. Вот почему формула BCH не полностью кодирует всю информацию о группе: в то время как она может «видеть» непрерывную часть центра$\mathcal{Z}(\tilde{\mathfrak{G}})$через евклидову сумму$X + Y$в формуле BCH члены более высокого порядка не могут видеть дискретный центр.

Теперь вы должны быть в состоянии думать о другом примере$\mathfrak{G}=U(1)$и$\tilde{\mathfrak{G}}=(\mathbb{R},\,+)$в этих терминах: они оба имеют одну и ту же алгебру Ли$\mathfrak{g}=(\mathbb{R},\,+)$и$\tilde{\mathfrak{G}}=(\mathbb{R},\,+)$является универсальной накрывающей группой$\mathfrak{G}=U(1)$. Основная группа, конечно,$\mathbb{Z} = \cdots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\cdots$, где целое число$n$соответствует петле по кругу$U(1) = \{e^{i\,\theta}:\;\theta\in\mathbb{R}\}$включающий$n$bights в направлении против часовой стрелки.

Чтобы помочь вашей интуиции: группы Ли «почти всегда» являются матричными группами следующим образом. Существует следствие трудной теоремы, известной как теорема Адо, о том, что каждая алгебра Ли может быть реализована как алгебра Ли квадратных матриц. Этого нельзя сказать о группах Ли: не всякую группу Ли можно представить в виде группы матриц, но это почти верно (следствие теоремы Питера-Вейля состоит в том, что любую компактную группу можно представить в виде группы квадратных матриц). . Конечно, поскольку мы можем найти реализацию квадратной матрицы для каждой алгебры Ли, мы можем построить матричную группу Ли с этой алгеброй в качестве ее алгебры Ли через матричную экспоненциальную функцию; затем мы находим универсальное покрытие этой матричной группы, и именно здесь мы иногдане удалось получить матричную группу. Это нетипично, и первые группы Ли, которые не были также матричными группами (так называемые метаплектические группы), не были найдены до 1937 года. Все эти чудаки являются покрывающими группами некомпактных групп.

В скобках следует отметить, что алгебра Ли$\operatorname{Lie}(U(1)\times SU(2)\times SU(3))$прямого продукта$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$является прямой суммой соответствующих алгебр Ли, так что это результат, похожий на тот, о котором вы, возможно, думали, когда задавали свой вопрос: в символах:

$$\begin{array}{lcl}\operatorname{Lie}(U(1)\times SU(2)\times SU(3)) &=& \operatorname{Lie}(U(1))\oplus \operatorname{Lie}(SU(2)) \oplus \operatorname{Lie}(SU(3))\\ &=& u(1) \oplus su(2)\oplus su(3)\end{array}$$

---

Группы Ли и теория Галуа

Ли действительно придумал теорию Галуа для непрерывных групп, и есть аналогии, но теория Ли более сложна. Линейные алгебры Ли упрощают изучение некоторых свойств нелинейной группы Ли, и между подгруппами Ли группы Ли существует взаимно однозначное соответствие.$\mathfrak{G}$и подалгебры Ли ее алгебры Ли$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(\mathfrak{G})$: это так называемое «соответствие Ли», подробно описанное в главе 2 книги [Россмана] (соответствие обсуждается в разделе 2.5), точно так же, как нормальные подгруппы группы Галуа расширения поля соответствуют один к одному со всеми содержащимися полями расширения внутри конкретного расширения, и поэтому мы можем изучать поля расширений, изучая группу Галуа автоморфизмов на них. В другом направлении группа Ли действует на свою собственную алгебру Ли через свое собственное присоединенное представление, упомянутое выше, точно так же, как группа автоморфизмов Галуа действует на поля расширения, которые они используют для изучения.

Рекомендации и получение дополнительной информации

Есть три отличных ссылки, которые я бы порекомендовал:

Вульф Россманн, «Группы Ли, введение в линейные группы»

Джон Стиллвелл, «Наивная теория лжи»

Брайан Холл, «Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение»

Внимательно прочтите первые две главы Россмана и всю Стиллвелла, чтобы узнать об основах, а книга Холла немного торопит основы, чтобы добраться до теории представлений, которая наиболее полезна для физиков. Стиллвелл не рассматривает теорию репрезентации — она предназначена в основном для студентов, но ее очень стоит прочитать. На мой взгляд, описание Стиллвелла является лучшим описанием обсуждаемых здесь идей глобальной топологии.

Еще одна замечательная книжечка

Дж. Фрэнк Адамс «Лекции о группах Ли»

показывает, как далеко можно продвинуться в изучении сильно нелинейной группы Ли без использования алгебры Ли. Меня это, конечно, удивило.

Есть также статья, которую я цитировал:

К. Энгё, «О формуле BCH в SO (3)» , BIT Numerical Mathematics 41 (2001), № 3, стр. 629–632.

Как мы видели, фундаментальная группа группы Ли всегда абелева (как и фундаментальная группа любой топологической группы), и именно по этой причине мне не очень нравится современный подход, который представляет группу Ли как многообразие с группой структура: многообразие — слишком широкая и общая вещь, и вам не нужно ничего похожего на всю дифференциальную геометрию, чтобы хорошо понять группу Ли. Хотя хорошо абстрагироваться и обобщать, вы можете сказать, что этот подход рассматривает деревья в лесу слишком далеко для хорошего первого взгляда. Спивака «Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию» .преподает такие группы Ли, в то время как я интеллектуально пошел другим путем, используя ссылки [Россмана], [Стиллвелла] и [Холла], а затем я использовал интуицию о группах Ли, чтобы помочь мне понять дифференциальную геометрию более общих римановых многообразий: начинается с простого набора аксиом о окрестности единицы в группе Ли и$C^1$пути в нем, а затем определяет всю связную компоненту как наименьшую группу, содержащую эту окрестность: таким образом аналитическое многообразие группы Ли «строит себя», и действительно решение Монтгомери, Глисона и Циппина пятой проблемы Гильберта показывает, что даже не нужно предполагать дифференцируемость , так как он естественным образом возникает только из предположений о непрерывности группы Ли. Идея группы Ли возникает из еще более примитивных предположений в случае компактных полупростых групп Ли: поскольку для такой группы Ли невозможна другая абстрактная групповая структура, поэтому даже топология возникает только из алгебраической структуры, а каждый групповой автоморфизм как абстрактный. группа также сохраняет структуру группы Ли (ван дер Варден, Б.Л., Mathematische Zeitschriftстр. 780-786). Группы Ли действительно очень специфичны, и современная идея многообразия содержит слишком много механизмов, чтобы ясно их увидеть. Интуитивно эта в высшей степени особая природа проистекает из однородности — факта, что групповое действие клонирует структуру вокруг идентичности и соседства во всем многообразии, и просто не так много систем аксиом и моделей поведения, которые могут выдержать такое массовое «клонирование» и при этом быть последовательным.

Нет, группа$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$не является векторным пространством любого типа, потому что в нем нет (коммутирующей) операции сложения (криволинейные групповые многообразия редко могут иметь такую ​​структуру).

В статье «расширение группы», на которую вы ссылаетесь, очень ясно показано, что расширение группы не обязательно должно быть векторным пространством, а групповая операция не обязательно должна быть абелевой.

Расширения полей коммутативны (и векторные пространства), потому что поле само по себе является коммутативным кольцом. Но группа Стандартной модели не основана ни на каком поле в этом математическом смысле, и группа является неабелевой, т.е. некоммутирующей – это то, что физики называют «группами в теории Янга-Миллса».

Нет, неверно, что отдельные частицы «являются» векторными пространствами. КТП, как и любая квантовая теория, имеет важное комплексное векторное пространство — гильбертово пространство. Никакие другие пространства, фигурирующие в формализме КТП, не являются векторными пространствами вообще. Это также отвечает на ваш последний вопрос, отрицая его предположения.

Просто для уверенности можно рассмотреть «первоквантованные» теории или одночастичные сектора КТП. У них есть собственное гильбертово пространство, которое можно интерпретировать как векторное пространство для «одной частицы». Но вы могли бы иметь в виду совсем другое; было непонятно, какую роль должно играть ваше гипотетическое векторное пространство, связанное с одной частицей.