Интегральная форма аномального уравнения несохранения в двух измерениях

У меня есть вопросы в разделе 19.1 Пескина и Шредера.

$$\begin{equation} \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \tag{19.7} \end{pmatrix} \end{equation}$$

Нижние индексы указывают на$\gamma^5$собственное значение.

Ниже мы покажем, что существуют ситуации, когда закон сохранения аксиального тока

$$\partial_{\mu} j^{\,\mu 5} =0 .$$ нарушена, а интегрированная версия $$\partial_{\mu} j^{\,\mu 5} = \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \tag{19.18}$$ держит. где вполне антисимметричный символ $\epsilon^{\mu \nu}$определяется как $\epsilon^{01}=+1$на странице 653.

Давайте проанализируем эту проблему, думая о фермионах в одном пространственном измерении на заднем плане.$A^1$поле, постоянное в пространстве и очень медленно зависящее от времени. Будем считать, что система имеет конечную длину$L$, с периодическими граничными условиями.

Так$A^1(t,0)=A^1(t,L)$, а также$\psi(t,0)=\psi(t,L)$.

одночастичные собственные состояния$H$иметь энергию

$$\begin{alignat}{2} \psi_+ : \quad \quad & E_n && =+(k_n -eA^1), \\ \psi_+ : \quad \quad & E_n && =-(k_n -eA^1). \tag{19.36} \end{alignat}$$

Теперь рассмотрим медленное смещение$A^1$.

Если$A^1$изменяется на конечную величину

$$\Delta A^1 = \frac{2\pi}{eL} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (19.37)$$

Где$\Delta A^1 \gt 0$.

спектр$H$возвращается к своей первоначальной форме. В этом процессе каждый уровень$\psi_+$перемещается вниз к следующему посту, и каждый уровень$\psi_-$перемещается вверх на следующую позицию. В этом адиабатическом процессе должны сохраняться числа заполнения уровней. Таким образом, примечательно, что один движущийся вправо фермион($\psi_+$) исчезает из вакуума и один лишний левый фермион($\psi_-$) появляется.

Так

$$\quad \Delta N_R=-1 ,\quad \Delta N_L=1$$ .

В то же время,

$$\begin{alignat}{2} \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} &=&& \int dt dx \frac{e}{\pi} \partial_0 A^1 \\ &=&& \frac{e}{\pi} L(-\Delta A^1) \\ &=&& -2 \tag{19.38} \end{alignat}$$

где я исправил опечатку в левой части первой строки.

где мы вставили (19.37) в последней строке. Таким образом, интегральная форма уравнения аномального несохранения (19.18) действительно выполняется:

$$\Delta N_R - \Delta N_L = \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} . \tag{19.39}$$

Для$\Delta N_R - \Delta N_L =-2$.
От

$$\int d^2x \partial_{\mu} j^{\,\mu 5} =\Delta N_R - \Delta N_L \tag{19.30}$$ мы получаем $$\int d^2x \partial_{\mu} j^{\,\mu 5} = \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.$$

Вопрос 1:
Я проверил все расчеты, ведущие к (19.38). Но я не могу понять знак минус во второй и третьей строке (19.38).
От куда это?

Вопрос 2 :

При вычислении изменений отдельных фермионных чисел мы предполагали, что вакуум не может изменить заряд при больших отрицательных энергиях. Это предписание калибровочно-инвариантно, но приводит к несохранению аксиального векторного тока.

Отсюда следует, что если бы вакуум менял заряд при больших отрицательных энергиях, это предписание не было бы калибровочно-инвариантным.
Почему? Пожалуйста, объясните?