Это чрезвычайно широкая тема, но есть несколько концепций, которые мы можем представить вам для начала. Термины «актуальная бесконечность» и «потенциальная бесконечность» на самом деле не используются в математике, но, похоже, они связаны с проводимым различием : ординалы против кардиналов. В каждой категории также есть множество размеров бесконечности, которые мы кратко обсудим.

Примечание по типографике: к сожалению,philosophy.stackexchange, похоже, не поддерживает математику набора текста (если есть способ сделать это, кто-нибудь дайте мне знать). Итак, предположим, что A_i означает A с нижним индексом i. A_{i+1} означает A с индексом i+1.

Виды бесконечностей

Давайте рассмотрим каждое из них, используя натуральные числа ℕ и функцию-преемник из арифметики Пеано: S(n) = n + 1 для всех натуральных чисел n.

∞ может использоваться для представления любого типа или размера бесконечности и может появляться, когда контекст ясно дает понять, с чем мы имеем дело. Но существуют и более точные обозначения, которыми мы будем пользоваться исключительно здесь.

Потенциальная бесконечность

Рассмотрим последовательность, не имеющую наибольшего элемента, но у которой каждый элемент конечен. например, пусть A будет такой последовательностью, что A_0 = 0 и A_{i+1} = S(A_i). Каждое A_i — конечное натуральное число, но нет наибольшего элемента. Таким образом, элементы A потенциально бесконечны.

Фактическая бесконечность

Набор натуральных чисел, ℕ. На самом деле их бесконечное количество, а не просто произвольно большое количество. Это относится к потенциальной бесконечности, поскольку ℕ можно определить следующим образом:

• 0 находится в ℕ
• Если n находится в N, то S(n) находится в ℕ.

Другими словами, A содержит в точности те же элементы, что и ℕ. Единственная разница между последовательностью и набором состоит в том, что последовательность упорядочена. Так что, казалось бы, нет особо значимого различия между «потенциальной» и «актуальной» бесконечностями. Но есть значимое различие между размером самого А и размером отдельных элементов А. И это подводит нас к кардиналам и ординалам.

Кардиналы

Кардиналы используются для подсчета количества элементов в наборе.
Стандартное обозначение размера множества A — |A|. Значение |А| всегда кардинал. Кардиналы могут быть конечными или бесконечными. например |{1,2,3}| = 3.

Если набор на самом деле бесконечен, мы используем числа алеф (ℵ) для их представления. ℵ_0 — это мощность натуральных чисел: ℵ_0 = |ℕ|, и это наименьшая из бесконечных мощностей .

Порядковые числительные

Порядковые числа используются для установления порядка в наборе. Сами ординалы полностью упорядочены, и, таким образом, если мы можем установить однозначное отображение между любым набором и ординалами, мы можем установить правильное упорядочение множества. В примере A это включает сопоставление индекса со значением элемента. Поскольку A_i = i, сделать это просто: f(i) = i.

Для конечных ординалов мы просто используем натуральные числа, как и для количественных, поскольку из контекста становится ясно, говорим ли мы об ординальных или количественных числах.

Существуют также бесконечные ординалы, но они работают немного иначе, чем бесконечные кардиналы, поскольку они определены (по крайней мере, частично) как пределы. Первый бесконечный ординал ω определяется как наименьший ординал, который больше всех натуральных чисел.

ω — предельный ординал множества A: A_i < ω для всех i.

Резюме

Итак, у нас есть наш набор A, который мы можем просто назвать ℕ в этот момент, так как он есть:

• ℕ_0 = 0, ℕ_{i+1} = S(ℕ_i).
• Для всех i ℕ_i < ω.
• |ℕ| = ℵ_0

Идея «потенциальных» и «фактических» бесконечностей несколько условна, но основную идею можно положить на более строгую основу, дифференцируя порядок элементов набора по количеству элементов в наборе.

Размеры бесконечностей

Этот раздел менее актуален для вашего первоначального вопроса, поэтому я отделил его от основного ответа, но он важен, если вы хотите получить глубокое понимание бесконечности.

Кардиналы

Два бесконечных множества считаются имеющими одинаковую мощность, если мы можем установить взаимно однозначное отображение между ними.

Например, множество всех целых чисел ℤ имеет ту же мощность, что и множество ℕ, что можно доказать следующим образом: пусть a — произвольный член ℤ. Если a отрицательно, мы сопоставляем его с -2a-1. Если a неотрицательно, мы сопоставляем его с 2a. Это приводит к тому, что каждый элемент ℕ отображается в уникальный элемент ℤ и наоборот, поэтому мы можем сказать, что множества имеют одинаковый размер.

С другой стороны, мы не можем сделать это с реальными числами. Доказательство с использованием диагонализации Кантора немного длинное, чтобы объяснять его здесь, но его понимание поможет вам понять бесконечности. Мощность вещественных чисел может быть следующим элементом в множестве кардиналов, ℵ_1, но это не доказано . Существует бесконечное количество кардинальностей.

На практике (по крайней мере, в моей области) мы можем просто классифицировать бесконечные кардиналы как «исчисляемые бесконечности», имеющие кардинальность ℵ_0 или «несчетные бесконечности», что соответствует любому другому размеру.

Порядковые числительные

Также существует бесконечное количество ординалов. После ω имеем ω+1, ω+2 и т. д. После всего этого имеем ω+ω = 2ω. И так далее.

Согласно странице Музея логики , посвященной философии бесконечного ¹ , различие восходит к Аристотелю, которому приписывается «infinitum actu non datur» — фактическая бесконечность не существует ² . Детали его взглядов и аргументов достаточно сложны, чтобы вызывать отдельные вопросы. Однако в результате идея потенциальной бесконечности — чего-то, что может продолжаться, не подразумевая никакого конца, — считается прочно укоренившейся в философской традиции. Напротив, не всегда ясно, что означает, что что-то может быть фактически бесконечным и в то же время сводимым к агрегату. В одном случае Аристотель, кажется, утверждает, что мы не можем ожидать, что линия будет на самом делесостоит из бесконечного числа точек (в отличие от потенциально делимых на бесконечное число сегментов), когда мы не можем найти две точки, которые были бы смежными (и, таким образом, могли бы охватывать континуум).

В древние времена это имело отношение к таким вещам, как атомная теория Левкиппа и Демокрита и парадокс Зенона. Но с тех пор это различие было важно для многих философов в самых разных контекстах (см. Музей логики). Отчасти преклонение потенциальной бесконечности над действительной бесконечностью свидетельствует о наследии Аристотеля в западной философии. Например, я думаю, что многие теистические философы будут отстаивать и то, и другое.

В относительно новое время этот вопрос возродился во время развития аксиоматической теории множеств . Примерно в то же время к этой проблеме обратились Дедекинд, Кантор и другие, и были разработаны многие вопросы, связанные с бесконечными множествами (например, гипотеза континуума и аксиома выбора). Они приобрели особое значение, поскольку трансфинитная теория множеств, основанная на ZFC (аксиомы Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора), становилась жизнеспособной системой для формализации современных основ математики.

В настоящее время трансфинитная теория множеств является наиболее признанной основой математики. Из-за этого идея действительно бесконечных множеств настолько распространена и полезна, что вопрос потерял часть своего значения. В этом контексте идея о том, что потенциальная бесконечность подразумевает актуальную бесконечность, правдоподобна, по крайней мере, в логическом или имманентном смысле. Я думаю, что вопрос по-прежнему интересен с точки зрения онтологии, альтернативных оснований математики, альтернатив ZFC в теории множеств и в других исторических и связанных контекстах. Есть также некоторые интересные математические аспекты, например, в теории множеств и анализе, но я думаю, что это лучше спросить на MathOverflow.

1: В разделе « Философия бесконечности » Музея логики есть подборка цитат и несколько статей о трактовке бесконечности Аристотелем и более поздними философами. 2: см., например, часть V по физике , книга III .

Я отвечу на ваш вопрос, почему потенциальные бесконечности кажутся эпистемически более ценными. Причина в том, что потенциальная бесконечность возможна, а актуальная или законченная бесконечность (как назвал ее изобретатель Георг Кантор) невозможна.

Потенциальная бесконечность : каждое натуральное число, на которое я могу сослаться, принадлежит конечному начальному сегменту, за которым следует потенциально бесконечно много натуральных чисел. Бесконечное множество намного больше любого конечного множества. Поэтому почти все натуральные числа нельзя рассматривать по отдельности.

Актуальная бесконечность : все натуральные числа можно рассматривать по отдельности.

Последнее, очевидно, невозможно, если большинство чисел всегда находится за пределами упомянутого натурального числа. Вы также можете проверить это экспериментально. Обратитесь к любому натуральному числу. Оно принадлежит маленькому начальному отрезку, о чем свидетельствует тот факт, что умножение его на сколь угодно большой множитель тоже дает натуральное число.

Поэтому большинство философов и математиков (за исключением небольшой секты теоретиков множеств) уважают и придерживаются потенциальной бесконечности.

Это требует точного концептуального прояснения даже для того, чтобы достичь поверхности концепций в игре, и это до того, как мы увидим, какие мотивы были у разных мыслителей, чтобы ухватиться за ту или иную концепцию. Ответ зависит от искателя понятия и от того, как он ищет понятие бесконечности. Если сущность бесконечности мыслится как беспредельность, то есть то, что прибавлено к ней, никогда не истощит ее, то она актуальна в том смысле, что сейчас, прямо сейчас способна принять к себе что угодно, не истощаясь. Ясно, что эта концепция бесконечности сильно отличается от той, которая мыслила бы сущность бесконечности во всех вещах, положительно составляющих ее как существующее число частей. Так, что у каждой части есть часть рядом с ней, не исключая ни одной.

Аристотелевское ощущение бесконечности, что то, что есть, неисчерпаемо, не совсем ясно в отношении того, что означает потенциал. Является ли это случаем своего рода Золотого гуся, где то, что исходит, всегда будет изливаться четвертым, пока фактический потенциал ( энергия ) бесконечности не будет каким-то образом поражен? В любом случае, сколько бы ржавчины и гнили ни было на собственно философском размышлении над этим предметом, я не вижу, где оно могло бы быть явно иным, чем бесконечным источником плодотворного внимательного исследования.

Бесконечность существует, и ее нельзя пройти, завершить; бесконечность — это черная дыра, но ее можно сублимировать и превзойти. Процесс (плохая бесконечность) вечен, закон (настоящая бесконечность) вечен; процесс — переменная, закон — константа; Бесконечность нельзя пересечь, но можно превзойти, результатом трансценденции является настоящая бесконечность. Существование бесконечности и незавершенность процесса — два совершенно разных понятия, это две стороны противоречия и не могут быть заменены друг другом; именно из-за их существования существует противоречие между конечностью и бесконечностью. Бесконечность, как черная дыра, может войти, не выходя, бесконечна, никогда не заканчивается. Бесконечный взгляд диалектического материализма настаивает на неугасании такого рода противоречия, и считает, что бесконечность существует объективно и может быть познана, но бесконечный процесс не может быть завершен, т. е. бесконечное противоречие вечно; С другой стороны, взгляд на актуальную бесконечность рассматривает объективное существование бесконечности как завершение бесконечного процесса, заменяя субъективное объективным, заменяя дурную бесконечность действительной бесконечностью, полностью отказываясь от противоречия между конечным и бесконечностью и т. думая, что противоречие может быть покончено и разрешено. Следовательно, эта мысль следовала за трансцендентальной, субъективной, метафизической бесконечной мыслью Канта, а не за диалектической бесконечной мыслью Гегеля. Следовательно,

Так называемый парадокс бесконечного обмена относится к идее, что мы используем мысль об актуальной бесконечности, т. -одно соответствие) на взаимно неэквивалентные бесконечности. Это глубоко обнажает врожденные дефекты актуального бесконечного мышления, оно отодвигает противоречие в бесконечность, но противоречие никогда не исчезает. Другими словами, бесконечный процесс невозможно завершить, что еще раз подтверждает бесконечный взгляд диалектического материализма (который будет уточнен в одной из последующих глав).

Подводя итог, мы всесторонне вводим диалектическую бесконечность Гегеля, а также вводим критическое наследование и развитие гегелевского взгляда на бесконечность Энгельсом, также вводим различия между четырьмя видами бесконечных взглядов и анализируем ошибки актуальной бесконечности; так что теперь мы можем естественным образом резюмировать бесконечный взгляд диалектического материализма: бесконечная цель существует, бесконечное можно познать, но бесконечный процесс не может быть завершен.

Конкретно говоря, всякая бесконечность есть диалектическое единство дурной бесконечности и действительной бесконечности. Это объективное существование, а сама бесконечность заключает в себе противоречие между конечным и бесконечностью, поэтому объективное существование бесконечности не означает, что бесконечный процесс может закончиться, завершиться. Настоящая бесконечность есть присущая бесконечным вещам качественная обусловленность, то есть внутренняя связь, закон и истина, а дурная бесконечность есть бесконечный прогресс, не прекращающееся повторение и чередование, она глубоко заключает в себе противоречие между конечным и бесконечным.

Настоящую бесконечность можно познать и дополнить, а плохую бесконечность нельзя познать и дополнить; дурная бесконечность (бесконечный процесс) есть конкретное проявление противоречия между конечным и бесконечностью, а не разрешение этого противоречия; это определяет, что противоречие между конечностью и бесконечностью никогда не исчезнет. Настоящая бесконечность представляет собой бесконечное качество (сущность), а дурная бесконечность представляет собой бесконечное количество (движение и изменение).

Настоящая бесконечность неотделима от дурной бесконечности, дурная бесконечность есть носитель настоящей бесконечности, а настоящая бесконечность есть цель и направление дурной бесконечности. Настоящая бесконечность присутствует, конкретная, положительная, разумная, завершенная бесконечность, есть для-себя-бытие и разумное бытие, есть завершенное качество; и дурная бесконечность возможна, абстрактна, отрицательна, несовершенна бесконечна, есть бытие-в-себе и разумное бытие.

Хорошо известно, что проблема конечности и бесконечности является основной проблемой математики, а также основной проблемой философии. Математическая основа пережила три больших кризиса, начиная с рождения иррационального числа и серьезно ставя под сомнение рациональность исчисления (Гегель, Маркс дал диалектическое научное объяснение из философии), а затем до возникновения парадокса Рассела. .

Основная причина трех кризисов заключается в том, что человечество не смогло дать научного и ясного объяснения противоречию между конечностью и бесконечностью, и всегда существовал спор между фактической бесконечностью и потенциальной бесконечностью. Выход из второго кризиса состоит в том, что математики невольно следуют идее диалектики и дают научное определение предела. Однако с тех пор, как более 100 лет назад Кантор изобрел «бесконечные числа» (порядковое число, кардинальное число), понимание бесконечности людьми вновь впало в идеалистическую метафизику. В статье всесторонне анализируется сущность актуальной бесконечности и извлекается гегелевская «истинная сущность бесконечности», то есть внутренняя связь бесконечности — сущность действительной бесконечности,

Эта статья возвращает и переопределяет бесконечный взгляд диалектического материализма, то есть бесконечность объективного существования, бесконечность может быть признана, бесконечность не может быть завершена. В рамках философской системы диалектического материализма эта статья дает исчерпывающее решение знаменитой проблемы гипотезы континуума, а также устраняет философское препятствие для решения парадокса Рассела. Пожалуйста, посетите журнал «Философия математического образования», том. 35 (2019).

http://socialsciences.exeter.ac.uk/education/research/centres/stem/publications/pmej/