Являются ли бесконечно малые в исчислении Ньютона и Лейбница потенциальными или реальными?

Фактические бесконечности, собранные в множества, официально не рассматривались (философствующими) математиками до тех пор, пока Кантор (с некоторым предвосхищением Больцано) не выступил против аристотелевских и схоластических аргументов о том, что такие объекты парадоксальны, см. Как работает фактическая бесконечность (числа или пространства)? По иронии судьбы, Кантор отвергал сами бесконечно малые, см. Какова была философская причина, по которой Кантор принимал бесконечное, но отвергал бесконечно малое?

Однако уже в середине 16 века Стевин выступал за признание бесконечных десятичных знаков числами, см. Когда стало понятно, что иррациональные числа имеют неповторяющиеся десятичные представления? , и к середине 17 века евклидовы ограничения в отношении различения величин, чисел и отношений были в значительной степени оставлены. Еще раньше Кардано начал манипулировать «невозможными» числами, а за ним последовали и другие. Авантюрное отношение «результаты важнее формальностей» сохранилось и в 18 веке, когда Эйлер проделал свои знаменитые манипуляции с расходящимися рядами, а Даламбер сказал своим ученикам: «Продолжайте работать, вера придет позже ». Грубо говоря, большинству математиков не было дела до аристотелевского различия между актуальной и потенциальной бесконечностями.

Однако Ньютон и Лейбниц были более осмотрительны. Лейбниц действительно созерцал актуальную бесконечность сущего, см . «Актуальную бесконечность» Лейбница Артура , но он был достаточно впечатлен аристотелевскими аргументами, чтобы не собирать их в тотальности, как Кантор. Недавние исследования показывают, что Лейбниц (как до него Ферма) рассматривал бесконечно малые числа как « полезные фикции » (его формулировка), подобно мнимым числам Кардано, но не как чисто номинальные фикции сегодняшнего дня, см . «Бесконечно малые числа Лейбница» Каца и Шерри :

« Бесконечно малые числа Лейбница являются фикциями, не логическими фикциями, как предполагал Исигуро, а скорее чистыми фикциями, такими как воображаемые, которые не могут быть устранены каким-либо синкатегоригорематическим парафразом. Мы утверждаем, что защита Лейбницем бесконечно малых величин более обоснована, чем критика их Беркли» .

Тем не менее, современные представления были иными. Те, кто больше интересовался философским статусом бесконечно малых, считали критику их Беркли уместной, а концепцию Ньютона - более последовательной (включая Канта, несмотря на его симпатии к Лейбницу). Можно сказать, что Ньютоновская «кинематическая интерпретация» бесконечно малых величин (которой он отчасти обязан Архимеду через Торичелли и Барроу, см. Кто открыл степенное правило для производных?) был близок к аристотелевскому пониманию движения с потенциальными бесконечностями и классическим разрешением парадоксов Зенона. Маклорен попытался дать строгое изложение исчисления на основе кинематической интерпретации в 1742 году. Можно даже сказать, что кантовская теория синтетического построения в математике опирается на аристотелевское ограничение на потенциальные бесконечности, которое, возможно, пронизывает «Начала» Евклида (действительно, Кант явно смоделировал свою концепцию). двойственность интуиции на материю/форму Аристотеля). Фридман комментирует в «Теории геометрии» Канта :

"Более того, хотя кинематическая интерпретация исчисления определенно не соответствует современным стандартам строгости, она также не страдает очевидными проблемами непротиворечивости и согласованности, с которыми сталкивается интерпретация, основанная на дифференциалах, бесконечно малых и бесконечно малых величинах. Действительно, когда кинематическая интерпретация подверглась явной критике со стороны таких математиков, как Д'Аламбер и л'Юилье в конце восемнадцатого века, это было сделано не на основании согласованности и последовательности, а потому, что считалось, что она привносит «чужой» или «физический» элемент. в чистую математику. Чистая математика должна быть независимой от математической физики и предшествовать ей; поэтому его следует развивать в полной независимости от идеи движения. Для Канта, напротив, это «смешение»"

[...]Но почему именно кинематическая интерпретация не соответствует современным стандартам строгости? Это сложный и увлекательный вопрос. Однако сейчас я просто рискну предположить, что различие между итеративной бесконечностью, используемой в евклидовых построениях, и более сильным использованием бесконечности, используемым в предельных операциях, играет здесь центральную роль. В евклидовой геометрии мы задаем объекты нашего исследования — окружности, прямые линии и любые фигуры, которые можно построить из них — с помощью четко определенной итерационной или «индуктивной» процедуры... Напротив, в исчислении течений у нас нет такой спецификации: не было дано ни пошаговой процедуры (ни какого-либо другого точно определенного метода) построения всех флюидов или «fliessende Grissen». Сходным образом, наше временное представление предельной операции не основано на повторном применении заранее заданных функций: каждый новый предел должен строиться как бы «на месте». В конце концов, это, пожалуй, самое фундаментальное преимущество определения конвергенции Коши-Больцано-Вейерштрасса."

В исчислении Ньютона бесконечно малые числа назывались флюксиями; в критике Беркли назвал их «призраками ушедших вещей», что предполагает потенциальность; нормативная стратегия дать им онтологическую основу заключается в ограничении операций - как отмечал Аристотель, это дает «адекватное» решение.

Другая онтология, которая приходит через теорию категорий, состоит в том, чтобы аксиоматизировать понятие бесконечно малого; алгебраически это система двойственных чисел ; геометрически — синтетическая дифференциальная геометрия ; что интересно, в базовой категории Set нет моделей .