Как следует интерпретировать современную математику, если вы не верите в бесконечность?

Неверие в бесконечность вызовет у вас проблемы только в том случае, если вы математический реалист , а это означает, что вы верите, что такое число, как 5 , имеет некое независимое онтологическое существование, которого нет у бесконечности. В случае, если вы думаете, что и 5 , и бесконечность — просто полезные понятия, проблема исчезает.

Есть множество концепций, которые мы находим полезными в жизни и в науке, не приписывая им какой-либо большей или более глубокой реальности. Например, в своей книге « КЭД » Ричард Фейнман, великий физик-теоретик, предлагает нам представить свет в виде маленьких вращающихся стрелок. Он никоим образом не реалист в отношении этих стрел. Он не думает, что свет — это маленькая вращающаяся стрелочка при любом увеличении или при исследовании каким-либо инструментом. Но он считает полезным представлять свет в виде вращающихся стрел, потому что это упрощает визуализацию некоторых сложных теоретических концепций и расчетов. Даже в том случае, если вы хотите быть реалистом около 5, вы все равно могли бы утверждать, что бесконечность — это удобная фикция, полезная для вычислений некоторых типов. Однако в этом случае вас могут попросить объяснить, что делает одно из этих чисел «реальнее» другого.

Однако стоит отметить (как указано в комментариях), что настоящий ультрафинизм выходит за рамки простого неверия в бесконечность. Он включает в себя обязательство вообще не иметь дело (даже в качестве полезной фикции) с числами, которые невозможно разумно сконструировать. Учитывая это, если вы на самом деле ультрафинист, вам, возможно, придется выбирать между этим обязательством и значительными разделами современной математики.

Мне кажется, что между двумя частями вашего вопроса есть принципиальное противоречие.

Сначала вы говорите: «Я ультрафинитист».

Затем вы спрашиваете, как следует интерпретировать современную математику.

Но ультрафинитизм — это интерпретация математики. Так что либо вы соглашаетесь с этой интерпретацией, и в этом случае вам, конечно же, не нужно спрашивать, что это такое, либо вы не подписываетесь на нее, и в этом случае вы не ультрафинитист.

Если вы читаете «Современную математику» как « теорию множеств Цермело-Френкеля , возможно, с некоторыми расширениями и дополнительными определениями», то, безусловно, ультрафинитист должен понимать аксиому бесконечности . Возможно, вы могли бы просто сказать, что такого множества, как описывает аксиома, не существует; если да, то ваше предложение будет иметь последствия, например, для непрерывных функций в анализе. Это позиция, которую защищают некоторые ультрафинитисты, такие как Дорон Зейлбергер , который утверждает, например, что весь настоящий непрерывный анализ сводится к дискретному анализу.

Другая позиция состояла бы в том, чтобы попытаться каким-то образом реабилитировать аксиому бесконечности — что множество, описываемое этой аксиомой, существует, но не является действительно бесконечным; возможно, например, мы думаем о «бесконечном множестве» как о следствии некоторого вынужденного расширения действительной конечной теоретико-множественной вселенной. (Хотя форсирование, вероятно, неприемлемо для ультрафинитистов, были предложены альтернативные переинтерпретации, например, использование Есениным-Вольпином внутренних моделей )

Еще одной альтернативой может быть просто полный отказ от теоретико-множественного подхода в пользу фреймворков, более дружественных к комбинаторным методам. Примером этого (хотя сама по себе она не обязательно должна рассматриваться как финитистская программа) является программа по теории гомотопических типов . HTT придерживается более абстрактного алгебраического взгляда на математические основы, который в идеале стремился бы избежать любогосвоего рода теоретико-множественное обязательство говорит независимо от конкретных структур и алгебр, которые оно может изучать. Избегание явной приверженности бесконечным практикам теории множеств, возможно, больше соответствует тому, что в корне касается ультрафинитарного взгляда на математику, не обязательно требуя от них фактического объяснения того, как смягчить потерю «трансфинитных чисел». как таковой.

Это аксиома современной математики, что бесконечность существует, поэтому современная математика противоречит тому, во что я верю; однако я думаю, что с моей стороны было бы большой ошибкой выбросить всю современную математику только из-за моего глупого зависания. Ведь современная математика работает.

Если ваши посылки логически ведут к противоречию, то по крайней мере одна из ваших посылок неверна. Я полагаю, что в данном случае ошибочен ультрафинитизм, а не современная математика.

Я не верю, что существует такая вещь, как бесконечность. Для меня очевидно, что должно быть наибольшее число; Я просто не знаю, что это такое.

Во-первых, здесь есть противоречие.

Назовем самое большое число «N». Тогда половина N равна N/2, что, очевидно, меньше, чем N, и, следовательно, это не самое большое число. Тогда существует число, равное N/2 + 1. Это число также меньше N, если только N не равно двум (а поскольку у нас по пять пальцев в каждой руке, а пять больше, чем 2, кажется довольно легким предположить, что что N больше 2). Но теперь у нас есть проблема. Для всех чисел, равных или меньших, чем N/2, верно сказать, что все числа можно умножить на два: (1 X 2 = 2, 2 X 2 = 4, 3 x 2 = 6... (N/2 ) Х 2 = Н). Но N/2 + 1 нельзя умножить на два, ибо это было бы N + 2, что больше N и, следовательно, не является числом, ибо N по определению есть наибольшее число. Итак, одни числа можно умножать на 2, а другие нельзя. Или что могут, но тогда результат не число (какие они-то?).

Во-вторых... Я не верю в круги. И пока вы не можете доказать, что существует наибольшее число, я даже могу доказать, что кругов не существует. Если материя состоит из атомов, то любой круг, радиус которого состоит из x атомов, должен иметь окружность из π x атомов, что невозможно, поскольку число π иррационально. Итак, кругов не существует.

Тем не менее, я довольно хорошо знаю, что такое круг, и когда и зачем использовать такую ​​​​вещь. Это абстракция; как говорит Крис Санами, это полезная концепция. Без нее не может быть современной математики; но, что еще хуже, без него не может быть ни Евклида, ни даже Пифагора.

И так, я думаю, что это проблема:

Физически возможно, что во Вселенной «существует» самое большое число: количество мельчайших частиц или частиц наименьшей возможной длины, или площади, или объема, которые существуют во Вселенной или мультивселенной. Но любой математик или даже надоедливый дилетант может тогда сказать: «это число... плюс один», «это число... умноженное на два», «это число... в квадрате». И хотя такие числа больше, чем количество исчисляемых «вещей» во вселенной, они все же являются числами, поскольку с ними можно выполнять любые обычные арифметические операции.

Математика не является «наукой» в том смысле, в каком таковыми являются физика, биология или социология. Это метод, и метод, который может быть применен к вещам, которые существуют, а также к вещам, которые не существуют.

Четыре единорога по-прежнему в два раза больше, чем два единорога.

Как следует интерпретировать современную математику, если вы не верите в бесконечность?

Отвечая на ваш вопрос в строгом и буквальном смысле: если вы не верите в бесконечность, то должны распрощаться с математикой. Не меняйте математику, давайте передумаем :-)

Но я предполагаю, что вы серьезно интересуетесь понятием бесконечности в математике, скажем, хотя бы со времен Кантора. Поэтому я рекомендую немного изучить теорию трансфинитных чисел Кантора, например, прочитать

«Джозеф В. Добен: Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств. Scientific American, том 248, № 6 (1983)» (если у вас нет доступа к журналу, я могу выслать вам копию.)

Изречение Гильберта гласит:

«Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором».

Вы говорите, что вам нужен способ интерпретировать математику. Это всеобщий призыв: мы все хотим интерпретировать и математику, независимо от того, ультрафинитисты мы или нет. Сама математика достаточно абстрактна, чтобы ее можно было применять, чтобы она была полезной.

К счастью для вас, это хорошо. Он достаточно абстрактен, чтобы вы могли интерпретировать его не более чем как «набор символов». На самом фундаментальном уровне это квалифицируется как интерпретация математики.

Я предполагаю, что ваша цель состоит в том, чтобы на самом деле использовать эту математику. Чтобы быть точным в формулировке, вы стремитесь преобразовать математическую формулировку (например, «1 + 1 = 2») в форму, которая позволит вам воздействовать на мир вокруг вас (Вы просите две монеты. Я даю вам одну монету). , то даю вам одну монету. Мы квиты). Вот где ультрафинитизм вступает в игру. У вас не должно возникнуть проблем с определением натуральных чисел, Н. Люди вольны использовать любые формулировки, какие им заблагорассудится, даже глупые. С чем у вас должны возникнуть проблемы, так это с применением этих формулировок таким образом, который влияет на вашу повседневную жизнь. Если я могу сказать вам, что вы можете ходить по воде, используя мощность натуральных чисел как часть моего математического доказательства, вы должны скептически относиться к полезности моего утверждения.

Очень и очень немногие из этих приложений действительно работают с бесконечностью напрямую. Обычно они используют бесконечность как часть доказательства. Доказательства связаны с истиной и ложью. Доказательство доказывает, что теория верна. Если у вас есть веское доказательство, не имеет значения, насколько абсурден результат, потому что доказано, что он верен.

Соответственно можно посмотреть на современную математику. Большинству из них на самом деле не нужны бесконечности. Однако многие доказательства утверждений, включающих конечные числа, будут опираться на бесконечности, например, в математической индукции. Это хитрые.

Возвращаясь к тому, что вы действительно пытаетесь сделать, вы превращаете свою «реальность» в математическую картину, что-то доказываете, а затем применяете результат обратно к реальности. Для тех, кто верит в бесконечность, доказательств достаточно. Что касается вас, вам, возможно, придется использовать некоторую интуицию, потому что кто-то говорит вам что-то, что, вероятно, полезно, но недоказуемо. Если ставки низки, может быть эффективно подшутить над ними и использовать их ярлык, включающий невозможные числа. Если ставки высоки, вам, вероятно, следует попытаться найти способ доказать утверждение без бесконечностей.

В противном случае вы можете свободно переводить их фразы с потенциальным несоответствием. Каждый раз, когда они полагаются на бесконечность, вы можете утверждать, что «возможно (хотя и не обязательно доказуемо), что существует какое-то произвольно большое число, для которого эта теорема несовместима».

Есть связанный с этим вопрос, который возникает в основной математике, известный как аксиома выбора. Аксиома выбора добавлена ​​к теории множеств Цермело-Франкеля (я знаю, что это теория множеств, включающая бесконечности), чтобы утверждать, что «имея множество множеств, вы можете построить новое множество, вытащив по одному элементу из каждого исходного множества множеств». наборы». В конечной стране это имеет смысл: «Если у меня есть 10 мешков с конфетами, я могу создать новый мешочек с конфетами, взяв по одной конфете из каждого мешка».

В стране бесконечности это становится шатким. Когда у вас есть наборы бесконечных элементов, вы можете делать странные вещи, например, начать со сферы, разбить ее на 5 частей, повернуть каждую из этих 5 частей и создать 2 полные сферы одинаковых размеров. Хитрость в том, что вы делите его на непересекающиеся бесконечные наборы точек. Это настолько неуправляемо, что многие предпочитают не принимать Цермело-Франкеля с Аксиомой выбора (ZFC), а вместо этого использовать только Цермело-Франкеля (ZF).

Однако даже те, кто отказывается принимать ZFC, следят за тем, какие пруфы идут в этой области. Многие доказательства, которые теперь принимаются с использованием только ZF, были сначала доказаны с использованием ZFC, а затем улучшены, чтобы быть независимыми от аксиомы выбора. Таким образом, те, кто разрабатывает теории ZF, могут относиться к ZFC как к источнику вдохновения, предлагая, где им следует искать доказательство дальше.

Если вы истинный физикалист, то на практике, учитывая ограничения времени и процесса, существует наибольшее число, которое когда-либо будет использовано. Это не означает, что это в принципе какой-то магический предел, но цифры за ним просто не имеют значения. Но кто мы такие сейчас, чтобы решать, какое это будет число? Почему бы не быть наполовину скромным и не вести себя так, как будто это выходит за рамки всего, что мы можем себе представить? Почему бы не строить планы на долгое будущее?

Вы выбираете это направление, вы можете отказаться от бесконечности, но вы все равно должны допускать постоянное увеличение.

С точки зрения «нестандартного анализа» элементы множеств, таких как действительные числа или целые числа с бесконечностью, не являются реальными, а представляют собой аксиоматические определения, маскирующиеся под вещи. (Двойка — это свойство иметь различные вещи, но как можно меньше , и т. д.) Счетная бесконечность, как число с каждым числом, с которым вы сталкивались в качестве предшественников, но без непосредственного предшественника, является сокращением для кодирования непрерывного увеличения. будущее.

Любое такое аксиоматическое определение, выраженное в образце, который можно записать, представляет собой механизм распознавания, который можно перестроить для использования в качестве порождающего механизма.

Например, исконная интуиционистская модель (а-ля Брауэр) вещественного числа представляет собой «свободно текущий поток битов». Каждое действительное число — это процесс, который всегда дает вам следующую цифру точности. Само число рассматривается как точка в пространстве, но на самом деле в его основе лежит непрерывное приближение.

Учитывая представление о том, что любое правило можно рассматривать как процесс, все другие полезные применения бесконечности можно перекодировать в аналогичной форме.

Таким образом, совершенно разумно думать о числовых частях математики как о хороших размышлениях об измерениях и приближениях и их конечных ограничениях, даже когда вы «берете пределы, когда x стремится к бесконечности» или делите две вещи, которые «идут к нулю».

Такие вещи, как бесконечные группы и т. д., абстрагируют этот лежащий в основе механизм, предполагая, что его можно точно уловить в интуиции и оторвать от его более конкретных форм. Если вы не хотите делать такой скачок, то можете придерживаться геометрий и конечных структур и предположить, что номинально бесконечные не имеют никаких приложений, которые вас заинтересуют.

Если вы сделаете этот скачок, вы перейдете от вычислений к психологии. Предполагая, что человеческая интуиция в отношении таких вещей, как бесконечность или непрерывность, имеет собственный интерес и что очарование, которое мы испытываем к ним, имеет под собой некую основу, вы можете приступить к своего рода глубоко психологическому искусству либо из интереса к психологии, либо из интереса к психологии, или влечение к искусству.

Оказывается, некоторые продукты этого искусства имеют репрезентации в реальности, что облегчает воображение некоторых других вещей. Как и другие истории, они помогают нам идти по жизни. Но эти истории всегда «Роман-а-Клеф», мы знаем, откуда берутся персонажи. Таким образом, представления можно развернуть обратно в конечные термины и смоделировать в вычислениях, когда они действительно применимы.

Вопрос в том, почему мы можем легче перейти от вычислений к искусству и обратно, если позволим себе определенный уровень излишеств в искусстве, чем если будем придерживаться реальности. В принципе, почему человеческая математическая интуиция является более сильным инструментом, чем его мотивация, если всего, что она моделирует, кроме ее конкретных приложений, на самом деле нет?

Это тот же самый вопрос, который делает язык увлекательным. Если вселенная в основном физична, и эволюция — это то, что движет большей частью этого, то с какой стати мы должны развивать что-то настолько более мощное, чем сама эволюция (решая одни и те же проблемы в сотни раз быстрее), а затем использовать это для создания другого? эволюция вообще (конкурирующие идеологии и культуры)?

(Достаточно реальности. Никому не нужна ложь. Но, как указывает Ницше, мы еще даже не начали оценивать их силу.)

Физика в некотором смысле является ультрафинитистской в ​​том смысле, что действительные бесконечности обычно считаются признаками провала (или апории ) теории; и это понятие на самом деле имеет древнее происхождение — Аристотель, например, в своей « Физике » утверждал, что в мире существует только потенциальная бесконечность.

Итак, вы в хорошей компании.

Есть два способа использования бесконечности в математике: бесконечно малый в исчислении и бесконечно большой в теории множеств; а нормальное отношение либо платоническое, либо формальное, либо прагматическое.

Pragmatic уже упоминался в ответе Sunami; формализм в некотором смысле возникает из прагматизма — поскольку нас заботит только то, работает ли он, а не то, имеют ли содержащиеся в нем понятия онтологический вес, то в сущности нам нужно заботиться только о логической непротиворечивости.

Платонизм — это то, что можно было бы назвать математическим реализмом, когда заботятся об онтологии чисел; а оказывается, что да - значит, надо мыслить в этом пространстве; и я бы предположил, что здесь есть две связанные возможности: конструктивизм , который допускает число только в том случае, если оно конструируемо, т. е. я не могу просто утверждать его существование; и интуитивизм, который отбрасывает LEM (Закон исключенного третьего).

Я думаю, что вполне возможно иметь дело с современной математикой, полагая, что бесконечности не существует. С технической точки зрения, если бы это убеждение нужно было применить к математическим рассуждениям, оно быстро привело бы к внутренним противоречиям и бессмысленным результатам. Но точно так же, как религиозный человек, который верит, что все происходит по воле какого-то бога или богов, может продолжать принимать решения, заботиться о других и т. д., так и человек, не верящий в существование бесконечности или, если уж на то пошло, умножение, что угодно, может продолжать заниматься математикой , как если бы эти вещи существовали, просто не веря в то, что они действительно существуют.

Это вопрос небольшого двоемыслия, контекстно-зависимой приостановки веры/неверия по крайней мере в одной части разума. Мы хороши в двоемыслии. Даже человеку, который не питает каких-либо великих иррациональных убеждений, подобных упомянутым выше, иногда приходится дважды думать, потому что физически невозможно всегда иметь последовательные убеждения обо всем. А иногда человек обнаруживает, благодаря следствиям своих убеждений, что он питает два или более взаимно противоречащих друг другу убеждений — двоемыслие на помощь!

Глядя на это с другой стороны, физически невозможно быть уверенным, что все убеждения непротиворечивы, поскольку для вывода релевантных следствий там, где можно прямо увидеть, что они противоречат друг другу, потребуется произвольно высокая вычислительная мощность. Таким образом, это двоемыслие, если человек не будет остановлен такими событиями, которые могут нанести серьезный ущерб его дальнейшему существованию. И, эволюционировав, чтобы приспосабливаться к противоречивым убеждениям, мы (очевидно) делаем это довольно легко.

Ну, я не думаю, что современные математики верят в существование бесконечности. Мы используем термин «бесконечность» и вводим такие объекты, как бесконечность, для формирования расширенных действительных чисел и при обсуждении преобразований Мебиуса, но не следует придавать этому слишком большое значение. Во-первых, во втором случае комплексные числа не имеют порядковой структуры, а в первом, если принять действительные числа без ограничений, то зачем утруждать себя введением конечного числа объектов.

Насколько я понимаю, ваша текущая точка зрения состоит в том, что на самом деле действительные числа не безграничны (или, точнее, натуральные числа ограничены сверху) и, следовательно, обязательно конечны (потому что невозможно добраться до действительных чисел, не просматривая натуральные числа или не говоря о них). о бесконечности - ведь если бы у нас не было бесконечности, мы не могли бы говорить о действительных числах).

Моя точка зрения выше состоит в том, что когда кто-то обсуждает бесконечность в формальном математическом смысле, это происходит потому, что он обсуждает утверждение о «бесконечном» множестве. Одна из схем аксиомы — как ни странно, аксиома бесконечности — выглядит следующим образом:

Существует множество N такое, что пустое множество E принадлежит N, и если x является элементом N, то множество, элементами которого являются x и {x}, также является элементом N.

Это чисто формальное определение, и оно никоим образом не опирается на бесконечность и не упоминает ее — можно подумать, что N бесконечно, но с формальной точки зрения это не более чем эти символы.

Следовательно, можно сказать, что бесконечность получает значение от своего использования в подходящем теоретико-множественном языке, а не от того, что каким-то образом является «бесконечностью», хотя и собственной.

Я рекомендую рассмотреть модель планарных измерений «Плоская Земля», хотя мы знаем, что Земля — это сфера. Мы измеряем расстояние не в дуге, а в линейных единицах. Это хорошо работает для дорожных поездок, строительных работ и, вероятно, большинства геодезических съемок (хотя я подозреваю, что авиаперелеты измеряют расстояние по дуге). Причина, по которой мы можем измерять линейно, несмотря на то, что формула для этого на самом деле неточна, заключается в том, что она достаточно близка к реальному измерению, поэтому остается полезной.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, вы могли бы интерпретировать современную математику как приблизительно точную реальность, в существовании которой вы убеждены (это не критика вашего решения об отрицании бесконечности). Современную математику можно рассматривать как «достаточно близкую», и поэтому нет проблем с ее использованием как есть. Вы просто будете осознавать его ограничения и знать, что он может не отражать реальность (опять же, реальность, которую вы принимаете) на 100% точно.

Я также согласен с первоначальным комментарием @Keelan и @Cheers and hth. - Экспозиция Альфа о «двойном мышлении».