Можем ли мы утверждать, что математика конечна?

На самом деле все наоборот. Вот упрощенный обзор того, почему: предположим, вы делаете конечное количество математических вычислений (доказываете конечное число теорем из конечного набора аксиом). Но по теоремам о неполноте есть некоторые теоремы, которые просто невозможно доказать. Таким образом, конечного объема математики недостаточно, чтобы охватить всю математику.

Поучительно посмотреть на конкретный пример того, как на самом деле выглядят подобные ситуации, в ходе математических исследований курса. Первый и до сих пор самый известный случай — это древний вопрос о том, можно ли вывести постулат Евклида о параллельности (ПП) как теорему из первых четырех аксиом (постулат утверждает, что существует не более одной прямой, которую можно провести параллельно другой). заданный через внешнюю точку).

Один из способов, которым геометры поставили эту проблему, состоял в том, чтобы попытаться заново доказать все старые евклидовы результаты с нуля, не прибегая к аксиоме параллелей, и посмотреть, как далеко они могут зайти. Эта система геометрии, евклидова минус параллели, называется нейтральной геометрией, потому что она нейтральна в отношении того, верна ли аксиома о параллельных. Тогда возникает вопрос, в конечном итоге нейтральная геометрия в конечном итоге эквивалентна евклидовой геометрии?

И, конечно же, им снова и снова не удавалось доказать PP в рамках нейтральной геометрии, и поэтому они в конце концов начали сосредоточивать свои исследования на более косвенных подходах, таких как рассмотрение того, что подразумевает принятие «PP ложно» в качестве аксиомы и что, предположительно, может получиться что-то абсурдное. Один из способов фальсифицировать PP — сказать, что мы можем найти по крайней мере две параллельные прямые, проходящие через точку, в отличие от не более чем одной. Последовали противоречивые результаты, но неожиданно оказалось, что эта система непротиворечива, и ее стали называть гиперболической геометрией. Если раньше геометрия представляла собой единую единую систему, систематизированную Евклидом, полную и непротиворечивую, то оказалось, что это всего лишь стебель вечно ветвящегося семейства геометрий*.

Именно это действительно делает следствия теорем Гёделя о неполноте такими глубокими. Это гарантирует открытость математики. Вначале были геометрия и арифметика, затем алгебра и, наконец, исчисление/анализ. Предмет математики можно было бы понять в полностью таксономических терминах: пространство, количество, структура и изменение. Но сегодня мы видим, что математика превосходит любое определение с точки зрения предмета. Он мог бы сказать, что математика — это скорее искусство: искусство быть творчески логичным через средства абстракции.

С чисто теоретической точки зрения легко увидеть, что математика бесконечна в том смысле, что она содержит бесконечно много теорем. Почему? Вы можете просто создать машину, которая выдает истинные математические утверждения без конца. Например (если лень): 1 = 1, 1+1 = 1+1, 1+1+1 = 1+1+1,... Конечно, это частные случаи общего правила, что x = x для любого x, каким бы ни был этот x. Но я не думаю, что существует какая-то математически определимая граница, отделяющая такие «тривиальные утверждения» от «истинных математических теорем».

Если вы согласны с тем, что целочисленная арифметика говорит об универсальном объекте, который просто «есть», то теорема Гёделя о неполноте говорит вам (среди прочего), что для описания арифметики вам нужно бесконечно много аксиом . Это довольно сильное утверждение, и оно идет в направлении , обратном вашей гипотезе: математика очень бесконечна. Дело не только в том, что существует бесконечно много теорем, существует бесконечно много основных правил, которые нельзя вывести из правил, с которых вы начинаете. Если вы хотите заниматься математикой чисто формальным образом (просто преобразовывая формулы, без привязки к их значению), то вы даже не можете сказать, что такое целочисленная арифметика (за конечное время).

Разумеется, приведенные выше замечания относятся к чисто теоретической (мета)математике. Если мы думаем о математике как о чем-то, чем мы занимаемся в нашей конкретной вселенной, и допускаем, что эта вселенная каким-то образом конечна в принципе (или что наша цивилизация имеет конечный масштаб, или что человеческие существа имеют конечные способности к математике и т. ), то математика также конечна, как было указано в другом ответе.

Есть гораздо более простой способ показать, что «математика конечна». Предположим, что Вселенная имеет конечное время жизни. Тогда у человечества есть только конечное количество времени для доказательства теорем, следовательно, может быть только конечное число доказанных теорем!

Возьмите любую математику, выраженную в виде набора аксиом, и перечислите все возможные доказательства, этот процесс не остановится, но теоретически вы доказываете все возможные теоремы в этой аксиоматической системе. Вы, конечно, не представили ни одного существенного доказательства, которое обычно составляет основу аксиоматической системы и доказательства теоремы! Это показывает, что множество теорем счетно. Теперь с точки зрения любой большой кардинальной аксиомы счетность мала. Таким образом, вы не показали, что математические истины, перечисляемые этим набором аксиом, конечны, но что они малы для подходящей идеи малости.

Конечно, я не был особенно серьезен выше, так как это упускает из виду суть математики, которая состоит в том, чтобы придумывать важные новые идеи, вопросы, теоремы и доказательства.