Является ли аксиома бесконечности действительно аксиомой?

Я надеюсь, что смогу эффективно изложить свои опасения, чтобы прийти к пониманию темы, над которой я интенсивно размышлял и исследовал в течение нескольких дней. Я имею в виду на самом деле бесконечность в математике, в частности, теорию множеств в отношении аксиомы бесконечности и множество натуральных чисел как законченную бесконечность.

Я понимаю, что на этот пост не будет ответов, которые решат вопрос о том, существует ли реальная бесконечность теоретически, но я надеюсь получить ответы, которые пробудят в моем уме понимание.

Вопросы::

  1. Является ли аксиома бесконечности действительно аксиомой?

Я имею в виду, что аксиомы обычно принимаются как самоочевидные истины, не нуждающиеся в доказательстве, но я не понимаю, как аксиома о том, что действительно существует бесконечное множество, действительно очевидна. Похоже, что он был создан исключительно для того, чтобы допустить возможность бесконечных множеств, независимо от того, насколько самоочевидным это может быть или не быть, что кажется несовместимым с тем, как должны использоваться аксиомы.

  1. Есть ли правдоподобные причины верить в теоретическое существование завершенной бесконечности?

Я считаю, что реальное бесконечное множество теоретически существует, как и множество натуральных чисел. Я не вижу ничего принципиально неправильного или двусмысленного в определении множества натуральных чисел или в индуктивном множестве, используемом в аксиоме бесконечного множества. Кроме того, я также считаю, что если набор определен, все элементы, удовлетворяющие определению или свойству этого набора, уже существуют в этом наборе, даже если мы не сможем перечислить их все даже за бесконечное количество времени. Следовательно, все натуральные числа находятся в содержащем их множестве, а значит, это множество является завершенной бесконечностью. Каким-то образом я нахожу правдоподобным наличие коллекции бесконечного множества объектов в коллекции, но мне любопытно, нашел ли кто-нибудь разумные аргументы, подтверждающие его или ее уверенность в том, что принятие этой аксиомы — это не просто прыжок веры,

Я очень надеюсь, что этот вопрос носит достаточно философский характер или, по крайней мере, может вызвать философскую дискуссию.

Всем заранее спасибо за любой отзыв.

То, что аксиома бесконечности не самоочевидна, было одним из критических замечаний Рассела, который пытался вывести всю математику из «законов мысли» в Principia. Однако от идеи о том, что аксиомы должны быть самоочевидными, давно отказались, скорее ожидается, что они будут плодотворными и полезными для организации рассматриваемой теории. Точно так же «теоретическое существование» завершенной бесконечности — это вопрос не веры, а практичности. Учитывая то, как практиковалась математика, было рационально отвергнуть ее до Кантора, как рационально принять ее сейчас.
Возможно, вас заинтересует «Защита аксиом» Пенелопы Мэдди. Вот вопрос отношения на math.SE. Вот Рассел говорит об аксиоме бесконечности.
Если вы интересуетесь теорией множеств или математическими основами в целом, вы должны знать, что ZF за вычетом аксиомы бесконечности так же сильна, как арифметика Пеано. Ни одна из этих теорий ничего не может сказать о бесконечных числах. Итак, если вы верите, что набор натуральных чисел существует (как вы говорите в вопросе), вы не можете получить его формально только с помощью ZF минус бесконечность. Разве этой философской причины недостаточно, чтобы аргументировать аксиому?
Книга Мэдди «Верить в аксиомы» находится в свободном доступе, см. Также Как работает фактическая бесконечность (чисел или пространства)? и ссылки туда.
«аксиомы обычно принимаются как самоочевидные истины, не требующие доказательств». НЕТ: они считаются «отправными точками», с которыми мы соглашаемся без доказательств.
«Огромная» часть математики имеет дело с бесконечностью ; таким образом, нам нужно некоторое предположение относительно существования «начального» бесконечного набора.
Сильнейшее рациональное подтверждение несуществования конечного «количества» чисел содержится в самой фундаментальной интуиции о неограниченной возможности повторения базовой операции +1. Рассмотрим очень простую игру с просьбой к мальчику: «Пожалуйста, подумай о самом большом числе, которое ты можешь себе представить… Готово? Теперь добавь к нему единицу». Но вы можете рассмотреть ультрафинитизм : кажется, в нем нет ничего внутренне «иррационального» или непоследовательного.
1: Ваше понятие аксиомы, кажется, устарело. Сегодня мы выбираем наши аксиомы по разным причинам. С аксиомой бесконечности можно сделать больше, поэтому большинство математиков принимают ее на вооружение. 2: Ваше представление о теоретическом существовании требует уточнения.
@Conifold Чёрт возьми. Я размышлял о фактической бесконечности и содержании аксиомы, даже не подвергая сомнению правильность моего понимания того, чем на самом деле является аксиома. Благодарю вас!
@ Лукас, я согласен с вашим первым пунктом. Я упомянул о теоретическом существовании, чтобы избежать недоразумения, что я спрашиваю, существует ли в физическом мире фактическая бесконечность. В частности, я хотел поговорить о математических объектах, поскольку их логически возможно определить в данной системе и они не противоречат другим вещам. Я признаю, что мне, вероятно, не следовало использовать слово «существование».
@BenedictVoltaire Спасибо за разъяснение. Логически возможное имеет смысл для меня :)
Очень интересный вопрос! Я регулярно борюсь с «эффективной бесконечностью» в контексте сложности вычислений. Я считаю полезной идею бесконечных игр, таких как «Задача ангела» Конвея . С точки зрения CGT это кажется скорее практическим, чем теоретическим вопросом, который связан с точкой зрения @Conifold.
1) Аксиома бесконечности действительно является аксиомой математики, потому что это самоочевидная истина. (Есть некоторые современные извращения математики, которые допускают всякую чепуху как аксиомы — так же, как некоторые современные извращения искусства допускают дерьмо на сцене.) Это самоочевидно из самого основного действия, на котором основана математика, а именно из подсчета. , что для каждого достигнутого шага возможен другой шаг. Однако есть некоторые положения, которые необходимо соблюдать. А) Это утверждение касается идеальной математики, т. е. математики, не ограниченной физическими ограничениями. Очевидно, вы не можете
На моем наивном уровне я бы сказал, что «бесконечное множество» просто определяет предел и что нет такой вещи, как фактическое бесконечное множество. Но есть технические моменты.

Ответы (4)

Является ли аксиома бесконечности действительно аксиомой?

Да, это аксиома теории множеств.

Но в математике аксиома теории не обязательно должна быть правдоподобной в соответствии с нашей повседневной интуицией. Единственное требование, которое она должна удовлетворять: аксиома не противоречит другим аксиомам теории.

Конечно, аксиомы не должны быть выбраны произвольно. Они должны служить основой сильной теории. Аксиомы Кантора о существовании трансфинитных множеств позволяют экстраполировать сложение и умножение на бесконечные множества и различать бесконечные множества разной мощности.

По моему мнению, требование правдоподобия аксиомы есть пережиток той философии, которая ограничивается рамками нашей повседневной интуиции.

Есть ли правдоподобные причины верить в теоретическое существование завершенной бесконечности?

Что вы подразумеваете под термином «теоретическое существование»?

С одной стороны, математический объект «существует», как только мы его ввели, т. е. изобрели. Он никогда не существует в физическом мире. С другой стороны, математический объект может быть полезным инструментом для описания явлений физического мира. Но даже в этом случае математический объект является моделью, а не частью физического мира.

Как было сказано в ответ на ваш первый вопрос, я считаю бесконечные множества полезным — даже гениальным — изобретением в области математики. Кроме того, каждая физическая теория, опирающаяся на исчисление, спорит с набором действительных и комплексных чисел.

Очень хороший ответ. И под теоретическим существованием я подразумевал то, что вы описали как существование математического объекта; он существует, потому что мы определили его. Он теоретический, потому что существует не в физическом мире, а в царстве чистого разума и идей.

Другой ответ охватил формальные аспекты. Я утверждаю, что при правильной ментальной модели аксиома бесконечности « самоочевидна ».

(Я использую пугающие кавычки, потому что считаю, что фраза «самоочевидный» — это просто усиление, а не что-то значимое)

Теория множеств, применительно к основаниям, состоит не в том, чтобы «собирать» объекты вместе, а в том, чтобы заниматься логикой . Наиболее ярко это проявляется при рассмотрении аксиом расширения и понимания вместе с построением третьей пули.

  • S и T являются одним и тем же множеством тогда и только тогда, когда x∈S выполняется точно тогда, когда выполняется x∈T
  • Если Φ — любое предложение, то существует множество S Φ со свойством, что x удовлетворяет Φ тогда и только тогда, когда x∈S Φ
  • Если S — множество, то x∈S — предложение, которое мы можем задать, удовлетворяет ли x

Таким образом, понятия множества и пропозиции — это просто разные способы говорить об одном и том же.

(Кроме того, это соответствие несколько испорчено тем фактом, что неограниченное понимание приводит к парадоксам, но даже это соответствует проблемам логики с парадоксом лжеца. Но и теория множеств, и логика развились, чтобы справиться с этими глюками)

Таким образом, сам факт, что «х есть натуральное число» оказывается осмысленным утверждением, которое можно задать объекту, делает очевидным, что существует соответствующее множество — и мы называем это множество множеством натуральных чисел.

Вам может быть интересно взглянуть на теорию типов как на вариацию темы, которая имеет тенденцию развиваться в направлении формальной логики.

Я не совсем убежден, что теорию множеств следует считать субдисциплиной логики. Возьмем типичные понятия из теории множеств, например, степенное множество или функцию: есть ли у этих понятий чисто логические термины в качестве эквивалента?
@JoWehler: Да; в современной формулировке это в основном значение «высшего порядка» в «логике высшего порядка». Например, в логике второго порядка мы можем рассматривать переменные отношения, а предикат в R, заданный как «∀x: если x удовлетворяет R, то x — натуральное число», — это предикат, соответствующий множеству степеней натуральных чисел.
Как выразить набор мощностей N, т. е. набор всех подмножеств, с помощью чисто логических терминов?
@JoWehler: Именно по предикату, который я дал в своем предыдущем посте. В словаре множеств-предикатов «S является подмножеством T» означает «∀x: x∈S подразумевает x∈T». Перевод через словарь множественных предикатов дает «∀x : P(x) подразумевает Q(x)». Если вы зафиксируете Q (например, как «Q(x) := x — натуральное число»), эта формула будет предикатом в переменной P. Те P, которые удовлетворяют этому предикату, — это в точности те предикаты, которые соответствуют подмножествам N .

Формально аксиома бесконечности в стандартной теории множеств (ZFC) выглядит следующим образом:

Существует множество I такое, что оно содержит пустое множество, и всякий раз, когда оно содержит множество x , оно также содержит множество {x} .

Это утверждение существования потенциально бесконечного множества, а не завершенного ; он говорит, например, есть набор:

0, 1, 2, 3...

и не

0, 1, 2, 3... омега

Где омега - завершение вышесказанного.

То, что это так, доказывается прямым принятием этой аксиомы как в интуиционистской, так и в конструктивной теории множеств, где более строго придерживаются понятия потенциальной бесконечности.

Даже в стандартном ZFC существует определенное беспокойство по поводу использования завершенных бесконечностей, и об этом часто свидетельствует выделение аксиомы выбора в учебниках, где это понятие наиболее заметно; аксиома утверждает, что я могу сделать бесконечный выбор, а не только конечный ; это не считалось таким «самоочевидным», как другие аксиомы.

На самом деле, эта аксиома косвенным образом послужила причиной одной из «шуток» Фейнмана над его друзьями-математиками, когда он указал им, что одна из их теорем, которыми они увлекались (парадокс Банаха-Тарского), не может быть верной. , он проследил это до их использования бесконечной делимости, говоря, что это физически невозможно; на самом деле он был более строгим, говоря, что вы можете сделать большое количество разрезов, но не произвольно большое, не говоря уже о полной бесконечности разрезов.

Математически говоря, это форма ультрафинитизма, о чем, например, писал русский математик Есенин-Вольпин .

Я вижу вашу точку зрения. Но является ли множество I в аксиоме завершенной или потенциальной бесконечностью интерпретацией аксиомы? Я читал, что некоторые авторы пишут в некоторых книгах по теории множеств и реальному анализу после того, как сформулировали аксиому бесконечности, что аксиома говорит, что существует по крайней мере одно бесконечное множество, а именно множество N натуральных чисел, и я не думаю, что большинство математиков думать, что N не является завершенной бесконечностью. Итак, я думаю, мой вопрос заключается в том, что если математики допустят существование завершенного бесконечного множества, скажут ли они, что аксиома бесконечности заключает в себе это предположение?
Другой вопрос: даже если N — потенциально бесконечное множество, существование которого зависит от аксиомы, должны ли математики доказывать, что на самом деле N — действительно бесконечное множество? Я не думаю, что они могут это сделать, если они уже не предполагают, что такие множества существуют, что потребовало бы, чтобы у них была аксиома, подобная аксиоме бесконечного множества. Спасибо за ваше терпение ко мне запросы.
Ну, как я уже говорил, есть разница между 1,2,3... и 1,2,3,... омега; и утверждается существование первого, а не второго; учебники по математике известны не своей философией, они предназначены для обучения технике, и именно для этого они включены в университетскую программу; Я полагаю, они придерживаются практической точки зрения, что прежде чем научиться задавать вопросы, нужно чему-то научиться; Я помню, как был озадачен, почему они продолжают называть аксиому выбора спорной, не объясняя, почему.
В конце концов, есть много техники, которой можно научить! Безусловно, интерпретации важны, но я бы указал на тот факт, что эта аксиома одинакова и в стандартной теории множеств, и в интуиционистской теории, подтверждающей то, что я написал. Важно отметить, что они не склонны различать потенциальную и актуальную бесконечность, множество N натуральных чисел — это имя для потенциально бесконечной последовательности.
Конечно, я бы немного расширил то, что вы сказали, и сказал бы, что они предполагают существование актуального, потенциально бесконечного множества; из других аксиом они не могли доказать ничего подобного.
@ Мозибур Улла: Вы правы. Существует различие между 1,2,3... и 1,2,3,... омега. Аксиома бесконечности утверждает только первый набор. Но теоретики множеств утверждают, что первое множество — это омега и что оно имеет элементы омега = алеф_0. Это источник большой путаницы.
@heinrich: Не все теоретики множеств так думают, это источник большой путаницы.

Но где он существует? Я предполагаю, что, как, например, тождество, причина и следствие и идеальные круги, оно существует только в наших умах и концептуальных структурах. У нас есть глубокая интуиция, что наше «я» реально, и мы используем это понятие как таковое таким образом, что классифицируем его как реальное. Аналогично бесконечность. Но все это реально, концептуальная категория.

Является ли аксиома бесконечности действительно аксиомой?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v