Имеет ли сложная 3-сфера комплексный структурный модуль?

Я полностью согласен с ответом Любоша, но позвольте мне добавить еще пару замечаний.

Понятие «некомпактного Калаби-Яу» оказалось чрезвычайно полезным в топологической струне (и даже в физической струне), хотя правила игры не всегда полностью ясны. Конечно, не хочется рассматривать, например, пространство, полученное удалением одной точки из компакта Калаби-Яу, как «некомпакт Калаби-Яу» в этом смысле. Возможно, следует разрешить всякое полное Риччи-плоское келерово многообразие.

Среди некомпактных CY, которые вы почти наверняка хотите разрешить, есть те, которые получены путем принятия соответствующих ограничений масштабирования компактных. Действительно, именно так некомпактные ТЦ вошли в литературу. В остальной части этого ответа я попытаюсь сказать, что означает «ограничение масштабирования»; если то, что я говорю, верно, то оно наверняка где-то есть в литературе, хотя я не сразу знаю ссылку.

Вы рассматриваете однопараметрическое семейство Риччи-плоских метрик Кэлера.$g_t$на каком-то компакте$X$, тогда как$t \to 0$общий объем$X$расходится. Вы также берете семейство открытых подмножеств$U_t$из$X$, все снабженные диффеоморфизмами к некоторым фиксированным$U$. Для любого ненулевого$t$, индуцированная метрика$g_t$на$U$является неполным. Однако может случиться так, что эти показатели сходятся как$t \to 0$к полной (и все еще риччи-плоской келеровой) метрике$g$на$U$. Если это произойдет, то$U$это ваш некомпактный CY.

Таким пределом масштабирования должен быть деформированный конифолд. В этом случае семья$g_t$можно получить, варьируя сложную структуру$X$определенным образом. А именно, пусть$L$быть некоторой специальной лагранжевой 3-сферой в$X$, и предположим, что у нас есть семейство сложных структур на$X$, так что период$Z_L = \int_L \Omega$стремится к нулю, как$t \to 0$(здесь$\Omega$обозначает голоморфную 3-форму на$X$, нормированный так, что$\int_X \Omega \wedge \bar\Omega = 1$). Тогда пусть$g_t$семейство метрик Кэлера, совместимое с этими сложными структурами, такое, что общий объем$L$остается конечным и ненулевым, поскольку$t \to 0$. Наконец мы позволим$U_t$быть подходящей трубчатой ​​окрестностью$L$(договор на$L$в качестве$t \to 0$). Честно говоря, мне кажется, что я никогда не видел подробностей, как это работает, и это может оказаться непросто, поскольку требует некоторого понимания метрики Риччи-флэт на$X$; но вполне возможно, что где-то это было сделано. Во всяком случае, с моральной точки зрения картина такова, что мы варьируем модули$X$таким образом, что$L$сворачивается до нулевого размера и «приближает» поведение очень близко к$L$.

Теперь возникает вопрос: что следует считать «модулями» некомпактного$U$полученный таким образом? Я предполагаю, что правильный ответ состоит в том, что все они являются модулями, происходящими от модулей$X$. Другими словами, наше пространство параметров должно включать все метрики Риччи на$U$которые получены из$X$через такие пределы, вплоть до изометрий --- но здесь я имею в виду изометрии, которые также распространяются на 1-параметрические семейства изометрий между семействами метрик$g_t$на$X$.

В частности, в нашем примере$U = T^* S^3$, существует 1-параметрическое семейство риччи-плоских метрик, только что полученных в результате общего масштабирования. Члены этого семейства не изометричны, так как придают разный объем специальному лагранжиану.$S^3$. Так что здесь есть по крайней мере реальный модуль. Я хочу заявить, что если вы работаете с «изометриями по модулю» в указанном выше смысле, вы обнаружите, что этот модуль на самом деле усложнен. С моральной точки зрения этот комплексный модуль отслеживает соотношение между$\int_L \Omega$и какой-то другой период$\Omega$, нормированный на соответствующую степень полного объема так, чтобы он оставался конечным в$t \to 0$предел.

Между прочим: в наши дни вы часто видите людей, самостоятельно изучающих некомпактные ТЦ, а потом беспокоящихся о том, могут ли они быть реализованы как «часть» компактного Калаби-Яу в каком-то подходящем смысле. У меня сложилось впечатление, что вопрос не всегда прямолинеен (например, недавно появилось много литературы по таким вопросам в контексте F-теории).

Я полагаю, что Энди и Камран не хотели сказать, что этот коллектор будет иметь сложный структурный модуль в отдельности. Однако, как видно из «конифолдной» установки, многообразие, заданное формулой$xy-zt=\mu$включается в большее многообразие, поэтому это уравнение описывает только окрестности некоторой области.

Когда вы используете фиксированную асимптотическую форму$xy-zt=\mu$многообразие, которое$\mu$-независимый, и когда вы распространяете эту деформированную конифолдную геометрию на большее многообразие, такое как квинтика, параметр$\mu$связанный с окрестностью (деформированной) особенности, становится комплексным структурным модулем, обозначающим неэквивалентные комплексные структуры всего (сложного) многообразия Калаби-Яу.

В качестве альтернативы вы могли бы посчитать единый комплексный модуль даже для самого этого простого многообразия, но вам пришлось бы наложить постоянство асимптотики, т.е. запретить ваши «масштабирующие» преобразования, которые использовались для демонстрации эквивалентности, независимо от$\mu$.

Явная формула диффеоморфизма между аффинной квадрикой и кокасательным расслоением$T^{*}S^3$известен. Это дано, например, в: Когерентных состояниях Холла и Митчела на сферах (уравнение 18). Я напишу это здесь, используя ту же нотацию вопроса для полноты:

$\mathbf{z}(\mathbf{x}, \mathbf{p}) = \cosh(\frac{p}{\sqrt{\mu}})\mathbf{x}+i \frac{\sqrt{\mu}}{p}\sinh(\frac{p}{\sqrt{\mu}})\mathbf{p}$

куда$(\mathbf{x},\mathbf{p})$— канонические координаты$T^{*}\mathbb{R}^4$, в котором$T^{*}S^3$дан кем-то:$x^2 = \mu, \mathbf{x}.\mathbf{p}=0$.

Функции$\mathbf{z}(\mathbf{x}, \mathbf{p})$(которые определяют индуцированную комплексную структуру на$T^{*}S^3$) явно зависят от$\mu$.