Обобщенная комплексная геометрия и теоретическая физика

Мне было интересно узнать о некоторых вариантах использования обобщенной комплексной геометрии (GCG) в физике. Не вдаваясь в математические подробности (см . для справки тезис Гуальтьери ), обобщенная комплексная геометрия пытается объединить симплектическую и комплексную геометрию, рассматривая расслоение$TM\oplus T^* M$с его естественной метрикой$\langle X+\xi, Y+\eta\rangle = \frac{1}{2} \left( \eta(X) + \xi(Y)\right)$и скобка Куранта .

Первые намеки на необходимость ОГК в физике появились в знаменитой статье Гейтса, Халла и Рочека , в которой они обнаружили «лишнюю» суперсимметрию в физике.$(2,2)$суперсимметричная модель. Эта дополнительная симметрия оказывается связанной с заданием двух (интегрируемых) комплексных структур$J_1, J_2$которые, в свою очередь, ковариантно постоянны при кручении соединений . Это означает, что многообразие не обязательно должно быть кэлеровым (эрмитовым и без кручения), и побудило Найджела Хитчина (и его учеников) предложить более общие геометрии, которые могут быть полезны в физике.

Совсем недавно была обнаружена связь между GCG и AdS/CFT. Напомним, что в AdS/CFT мы рассматриваем пространство-время, которое является искривленным произведением$AdS_4$и 6-многообразие. Оказывается, естественно рассматривать 5-многообразие$Y^5$конус которого имеет некоторую особую геометрию. Если эта геометрия является Калаби-Яу, то такое многообразие известно как многообразие Сасаки-Эйнштейна . Таким образом, мы начинаем с метрики формы,

$g_{ij} = g_{AdS_5} + g_{Y^5} = e^{2\Delta + \phi/2}r^2 \left(g_{\mathbb{R}^{1,3}} + r^{-4} g_{C(Y^5)} \right)$

куда$g_{C(Y^5)} = dr^2 + r^2 g_{Y^5}$( метрический конус$Y^5$). Если мы хотим повиноваться$\mathcal{N}=1$суперсимметрии, мы должны навязать дилатино и гравитино, что в конечном итоге приводит к состоянию чистых спиноров. В обобщенной сложной геометрии$TM\oplus T^*M$естественно действует как алгебра Клиффорда на модуле Клиффорда$\wedge^{\bullet} T^*M$. Оказывается, в этой ситуации мы можем представить чистые спиноры над обобщенным комплексным многообразием в виде суммы дифференциальных форм разной степени (полиформ). Таким образом, GCG могут быть хорошими кандидатами на$C(Y^5)$.

С этим связан результат Graña, et. al , который можно плохо перефразировать так:

Все$\mathcal{N}=1$решения теории струн IIB описываются парой чистых спиноров$\Omega_{\pm}$(вплоть до$B$преобразование), которые удовлетворяют паре дифференциальных ограничений,$d \Omega_+ = 0$,$d\Omega_- = dA \wedge \Omega_+ + \frac{i}{8}e^{3A}e^{-B}\star (F_1 - F_3 + F_5)$, куда$F_k$это$k$- поток формы и$A = 2\Delta + \phi/2$

Мне было интересно, есть ли какие-либо другие важные применения GCG в физике, о которых я не упомянул. Я видел множество статей, в которых упоминаются GCG, но, если не считать этих примеров, я не был особо впечатлен их использованием.

Спасибо!