об аксиомах Атьи-Сигала в топологической квантовой теории поля

Аксиомы Атьи-Сигала и вообще аксиомы FQFT формализуют шредингеровскую картину квантовой физики:

• к срезу коразмерности 1$M_{d-1}$пространства присваивается векторное пространство$Z(M_{d-1})$-- (гильбертово) пространство квантовых состояний над$M_{d-1}$;

• к пространственно-временному многообразию$M$с границами$\partial M$один назначает квантовый пропагатор, который является линейной картой$Z(M) : Z(\partial_{in} M) \to Z(\partial_{out} M)$который переводит входящие состояния в исходящие состояния посредством распространения по пространству-времени/мировому объему$M$. Этот$Z(M)$также известна как амплитуда рассеяния или S-матрица для распространения от$\partial_{in}M$к$\partial_{out}M$в процессе формирования$M$.

Теперь для настоящих топологических теорий поля все пространства квантовых состояний конечномерны, и, следовательно, мы можем эквивалентно рассматривать линейные двойственные пространства (используя то, что конечномерные векторные пространства образуют компактную замкнутую категорию ). При этом карта распространителя

эквивалентно становится линейной картой вида

Обратите внимание, что такая линейная карта из канонического одномерного комплексного векторного пространства$\mathbb{C}$к некоторому другому векторному пространству эквивалентно просто выбору элемента в этом векторном пространстве. Именно в этом смысле$Z(M)$является вектором в$Z(\partial_{out}M) \otimes Z(\partial_{in}M)^\ast = Z(\partial M)$.

В таком виде в физике пропагатор обычно называют коррелятором .

Аксиомы Сигала изначально явно относились к пропагаторам/S-матрицам, тогда как Атья сформулировал их таким образом в терминах корреляторов. Обе точки зрения переходят друг в друга в соответствии с двойственностью, как указано выше.

Обратите внимание, что такого рода обсуждение не ограничивается топологической теорией поля. Например, уже обычная квантовая механика полезно формулируется таким образом, в этом суть конечной квантовой механики в терминах кинжально-компактных категорий . Там это с большим успехом используется в квантовой теории информации и квантовых вычислениях.

РЕДАКТИРОВАТЬ № 3: Мой другой ответ дает более подробный и структурированный отчет (надеюсь).

(Я бы оставил это как комментарий, но у меня недостаточно репутации, поэтому…)

Вы должны проверить саму статью Атьи . Он делает попытки объяснить по крайней мере некоторые из этих вещей. К сожалению, в данный момент мне нужно приступить к работе (но я вернусь и отредактирую это с более полным ответом, если только кто-то еще не захочет этого в то же время), но я могу сказать несколько вещей:

(1) Если вы посмотрите статью Атьи, то обнаружите, что он пишет$Z(M)\in Z(\partial M)$в нескольких разных местах, поэтому можно с уверенностью предположить, что это не опечатка. ;) Я сделаю все возможное, чтобы объяснить детали, когда я вернусь.

(2) Хорошая пояснительная статья, которая несколько объясняет физическую интерпретацию гомотопической аксиомы и аддитивной аксиомы, может быть найдена здесь (в частности ,$\S$2) математика Джона Баэза. Опять же, я скажу больше сам, когда у меня будет шанс позже.

(3)$Z(\Sigma)$интерпретируется как пространство состояний системы. Общая идея состоит в том, что каждому геометрическому объекту, т. е. множеству$\Sigma$, с ним связывают алгебраические объекты, т.е. векторное пространство$Z(\Sigma)$(или, в конце концов, может понадобиться гильбертово пространство, поскольку речь идет о квантовой физике). И для каждого "процесса" брать по одному коллектору$\Sigma_1$к другому коллектору$\Sigma_2$(интерпретируется как многообразие$M$с$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$), получается «процесс», занимающий пространство состояний$Z(\Sigma_1)$из$\Sigma_1$в государственное пространство$Z(\Sigma_2)$из$\Sigma_2$, то есть (ограниченные) линейные отображения между векторными пространствами.

Еще один отличный ресурс — эта книга и другая статья Атьи. Надеюсь, это поможет, по крайней мере, пока я не смогу дать лучший ответ.

РЕДАКТИРОВАТЬ: вот какое выражение$Z(M)\in Z(\partial M)$означает: Пусть$M$быть многообразием, так что$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$, как указано выше. скажем$M$является$(d+1)$-размерный. Затем, как я упоминал выше, идея$Z$вы спрашиваете, что это функтор из геометрической категории в алгебраическую. Геометрическая категория имеет в качестве объектов$d$-мерные замкнутые многообразия (это$\Sigma_i$s), а его морфизмы задаются кобордизмами между замкнутыми$d$-многообразия, т.е. морфизмы$(d+1)$-мерные многообразия, граница которых состоит из несвязного объединения замкнутых$d$-мерные многообразия ($M$для нас здесь кобордизм). Алгебраическая категория в этом случае имеет в качестве объектов конечномерные векторные пространства, а морфизмы представляют собой (ограниченные) линейные отображения между векторными пространствами.

Итак, функтор между двумя категориями — это карта, которая переводит объекты в объекты и морфизмы в морфизмы. В этом случае функтор$Z$отправляет закрытый$d$-мерное многообразие$\Sigma$в векторное пространство$Z(\Sigma)$и это посылает кобордизм$M$, как и выше, между двумя объектами$\Sigma_1$а также$\Sigma_2$(те, которые составляют его границу) к линейной карте$Z(M):Z(\Sigma_1)\rightarrow Z(\Sigma_2)$. Это контекст, теперь давайте попробуем понять утверждение$Z(M)\in Z(\partial M)$.

Ключом к пониманию этого момента является то, что функтор$Z$это то, что Атия называет мультипликативным . Это означает, что$Z$посылает непересекающиеся объединения в тензорные произведения (это точно так же, как в квантовой механике, когда вы имеете дело с двумя системами: состояния системы-произведения не просто произведения состояний в каждой системе, а задаются тензорными произведениями, и Клебш- Входят коэффициенты Гордона и др.). Другими словами

Итак, давайте посмотрим, что это значит для$M$. С$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$, у нас есть это

Но стандартный результат в алгебре дает:

Другими словами,$Z(\partial M)$можно рассматривать как совокупность всех линейных карт из$Z(\Sigma_1)$к$Z(\Sigma_2)$. Как упоминалось выше, поскольку$M$является кобордизмом, морфизмом в геометрической категории,$Z(M)$является морфизмом в алгебраической категории, т.е.$Z(M)$это линейная карта$Z(M):Z(\Sigma_1)\rightarrow Z(\Sigma)_2$. Итак, что мы нашли,$Z(M)$ является элементом набора всех линейных карт между этими двумя векторными пространствами, т.е.$Z(M)\in Z(\partial M)$.

РЕДАКТИРОВАТЬ № 2: я просто хотел добавить, что я (намеренно) расплывчато отношусь к указанным выше ориентациям. С технической точки зрения (если я правильно помню обозначение Атьи) нужно написать$M=\Sigma_1^{\ast}\cup\Sigma_2$, где$\ast$означает, что он имеет противоположную ориентацию. Подробнее об этом, как только я напишу что-нибудь получше.

Я решил включить это как отдельный ответ, а не связываться с вышеизложенным. Заранее извините за длину. Я по-прежнему искренне рекомендую вам проверить:

(1) «Квантовые затруднения » Баэза;

(2) «Алгебры Фробениуса и 2D-топологические квантовые теории поля » Коха (часть этого здесь , а «краткая версия» здесь );

(3) Введение в топологические квантовые теории поля , Атия.

Некоторые дополнительные (в основном стандартные) ссылки включают:

(4) Многомерная алгебра и топологическая квантовая теория поля , Баэз-Долан (более подробная версия вышеупомянутой пояснительной статьи);

(5) Категориальные аспекты топологических квантовых теорий поля , Бартлетт;

(6) Топологическая теория поля, высшие категории и их приложения , Капустин;

(7) Лекции о тензорных категориях и модульном функторе Бакалова и Кириллова (в частности, глава 3);

(8) Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий Тураева;

(9) Браны Дирихле и зеркальная симметрия , Аспинуолл и др. (особенно главы 2 и 3).

При этом, однако, я попытаюсь объяснить это так хорошо, как я могу ниже.

(i) Вы спросили,$Z(M)\in Z(\partial M)$правильно и почему. Я думаю, что путаница здесь сводится к тому, чтобы думать о$Z$как функция между двумя многообразиями , и в этом случае$Z(\partial M)\subset Z(M)$было бы больше смысла. Однако при таком категоричном подходе к TQFT$Z$не функция, а функтор . Функтор можно понимать как категориальный аналог функции, но это не одно и то же — на самом деле, этот вид функтора ТКТП$Z$является одним из стандартных примеров функтора, который не является функцией, поэтому лучше понять$Z$поможет вам понять немного больше о теории категорий. Возможно, немного фона поможет прояснить картину.

Итак, категория немного отличается от множества: в теории множеств говорят об элементах $x$принадлежность к множеству$X$, но априори между любыми двумя элементами данного множества нет никакой связи. В противоположность этому в теории категорий говорят об объектах $A$принадлежность к категории$\mathcal{C}$, но между любыми двумя заданными объектами существует связь ! Действительно, для двух объектов$A,B\in\mathcal{C}$, есть класс (обычно набор)$\text{Hom}(A,B)$морфизмов из$A$к$B$. Точно так же, как функцию между множествами можно рассматривать как отношение между элементами этих множеств (например, для$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$определяется$f(x)=x^3+1$,$f$обеспечивает связь между элементами домена и элементами диапазона: например, 28 связано с 3 по правилу$f(3)=28$), морфизм между объектами категории есть отношение между ними. Таким образом, категории отличаются от наборов.

Следовательно, если вы хотите говорить о сопоставлениях между категориями , вы не можете просто беспокоиться о том, куда вы отправляете объекты одной категории в другую, но вам также нужно беспокоиться о том, куда передаются морфизмы между объектами . Итак, в некотором смысле функтор $F$между двумя категориями$\mathcal{C}$а также$\mathcal{D}$является как отношением между объектами , так и отношением между отношениями между объектами . Теперь мы подготовили почву для моего предыдущего ответа.

Опять же, идея здесь в том, что$Z$является функтором между категориями: его «область определения» — геометрическая категория, а «диапазон» — алгебраическая категория. В этом случае геометрическая категория dCob состоит из:

--Объекты = $d$-мерные замкнутые многообразия$\Sigma$,

--Морфизмы между двумя объектами$\Sigma_1$а также$\Sigma_2$= кобордизмы от$\Sigma_1$к$\Sigma_2$, т.е.$(d+1)$-мерные многообразия$M$такой, что$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$.

Алгебраическая категория$\Lambda$-Мод (по исходному вопросу) в данном случае состоит из:

--Objects = конечно сгенерированные$\Lambda$-модули$R$,

--Морфизмы между двумя объектами$R_1$а также$R_2$знак равно $\Lambda$-модульные гомоморфизмы (т.е. линейные отображения)$f:R_1\rightarrow R_2$.

Как было неявно сказано в моем предыдущем ответе, часто работают с категорией векторных пространств Vec вместо более общих модулей.

Так,$Z:$dCob$\rightarrow \Lambda$-Mod - это функтор , поэтому вам нужно подумать о том, куда он отправляет как объекты (замкнутые многообразия), так и морфизмы (кобордизмы). К каждому закрытому$d$-мерное многообразие$\Sigma$,$Z$назначает$\Lambda$-модуль$Z(\Sigma)$. К каждому кобордизму$M$между$\Sigma_1$а также$\Sigma_2$(не забывайте:$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$),$Z$назначает$\Lambda$-модульный гомоморфизм$Z(M):Z(\Sigma_1)\rightarrow Z(\Sigma_2)$. Использование мультипликативного свойства$Z$считается удовлетворяющим, находим, что

следовательно$Z(\partial M)$в данном контексте означает совокупность всех$\Lambda$-модульные гомоморфизмы между$Z(\Sigma_1)$а также$Z(\Sigma_2)$. С$Z(M)$такая карта, как мы видели выше, мы имеем, что$Z(M)\in Z(\partial M)$.

(ii) Хотя я не физик, поэтому, возможно, я не лучший человек для этого ответа, я попробую. Вот как я об этом думаю (сильно вдохновленный описательной статьей Баэза):$d$-мерное замкнутое многообразие можно рассматривать как геометрию пространства на данном временном интервале. Кобордизм между двумя такими многообразиями$\Sigma_1$а также$\Sigma_2$можно рассматривать как процесс, в котором геометрия пространства (плавно) изменяется по сравнению с$\Sigma_1$к тому из$\Sigma_2$. В «время 0» у вас есть геометрия$\Sigma_1$и по мере «времени» (по кобордизму$M$от граничной составляющей$\Sigma_1$к другому граничному компоненту$\Sigma_2$) геометрия немного изменяется, пока в конечном итоге не изменится на геометрию$\Sigma_2$. Таким образом, геометрическую категорию в данном случае можно рассматривать как описание процессов преобразования геометрии пространства-времени.

Теперь, в квантовой физике, на самом деле больше не имеют дело с пространством-временем, а скорее с векторами в гильбертовом пространстве: каждый вектор — это состояние, в котором может находиться квантово-механическая система. Линейная карта между двумя векторными пространствами, тогда , можно рассматривать как процесс, переводящий одну систему (т. е. один набор состояний) в другую систему (другое гильбертово пространство состояний). Конечно, и то, и другое несколько отличается от ситуации, которую рассматривает Атья: в ОТО одно более интересно в конкретном типе многообразий (псевдоримановы, т. интересуется этими гильбертовыми пространствами. Они просто работают с общими (гладкими) многообразиями и$\Lambda$-модули, чтобы сделать вещи более управляемыми.

Тогда интерпретация функтора$Z$определяет своего рода соответствие между состояниями и процессами в одном описании и состояниями и процессами в другом описании. Другими словами,$Z$— это способ систематизировать то, как квантово-механический аналог процессов, изменяющих геометрию пространства-времени.

А как насчет гомотопической аксиомы и аксиомы сложения?

Гомотопическая аксиома на самом деле является источником топологической части названия: она говорит, что два гомотопически эквивалентных кобордизма дадут одно и то же$\Lambda$-модульные гомоморфизмы с алгебраической стороны. Физически это просто говорит о том, что любые два физических процесса, которые изменяют пространство от$\Sigma_1$к$\Sigma_2$одинаковые с точки зрения топологии (для ясности: топологии «процессов», т. е. кобордизмы, одинаковы, не обязательно топологии$\Sigma_i$s) даст те же результаты на конце КТП, т.е. теория заботится только о топологических различиях, поэтому это топологическая КТП.

Аддитивной аксиомой в этом контексте является мультипликативное свойство, о котором я упоминал выше:$Z(\Sigma_1\cup\Sigma_2)=Z(\Sigma_1)\otimes Z(\Sigma_2)$. Физически, как я пытался упомянуть в своем предыдущем ответе, это соответствует тому, когда у вас есть два отдельных процесса между системами, и вы рассматриваете их как один процесс, работающий параллельно. С квантовой стороны, как известно из основ КМ, гильбертовы пространства, задающие состояния каждой системы, не так просто комбинируются: нужно рассматривать их тензорное произведение, чтобы получить правильные результаты. Таким образом, аддитивную аксиому действительно можно рассматривать как закодированную квантовую часть «топологической квантовой теории поля».

Я надеюсь, что это поможет дать некоторое представление о том, что происходит физически. Я настоятельно рекомендую вам прочитать то, что я сказал выше, со ссылками, приведенными в начале, чтобы вы могли увидеть красивые изображения, иллюстрирующие то, что я пытаюсь здесь сказать.

(iii) В случае, когда$\Sigma$это$d$-мерный замкнутый коллектор, да$Z(\Sigma)$интерпретируется как статистическая сумма TQFT.