Как понять волновую функцию в квантовой механике в математике

Я читаю введение в квантовую механику. Я не все понимаю, но понимаю, что волновая функция говорит о некоторых вероятностных аспектах. В одной книге они показывают один пример волновой функции ф ( Икс ) в пространстве положений как комплексная функция, поэтому они сказали, что вероятность нахождения частицы равна ф * ( Икс ) ф ( Икс ) "=" | ф ( Икс ) | 2 . В другой книге показан тот же пример, но в так называемой векторной форме бюстгальтера и кет. Я знаю, что если вычислить абсолютный квадрат, я должен получить тот же ответ. Но я все еще изучаю лифчик, нотацию кет, поэтому мне интересно, ⟨ ф ( Икс ) | ф ( Икс ) ⟩ или | ⟨ ф ( Икс ) | ф ( Икс ) ⟩ | 2 дает вероятность? Если последний дает вероятность, какова ⟨ ф ( Икс ) | ф ( Икс ) ⟩ ? Является ⟨ ф ( Икс ) | ф ( Икс ) ⟩ "=" ф * ( Икс ) ⋅ ф ( Икс ) ?

Ответы (2)

" | ф ( Икс ) ⟩ " ничего не означает и не является правильным обозначением скобки. Для перевода туда и обратно между волновой функцией и обозначением скобки вот что нужно иметь в виду № 1:

ф ( Икс ) "=" ⟨ Икс ∣ ф ⟩

Таким образом, плотность вероятности найти частицу на Икс является

| ф ( Икс ) | 2 "=" | ⟨ Икс ∣ ф ⟩ | 2

С ⟨ а ∣ б ⟩ "=" ⟨ б ∣ а ⟩ * , это тоже можно написать

| ф ( Икс ) | 2 "=" ⟨ ф ∣ Икс ⟩ ⟨ Икс ∣ ф ⟩

Помните, что это представляет собой плотность вероятности в Икс . Это означает, что

∫ г Икс А ( Икс ) | ф ( Икс ) | 2 "=" ⟨ ф | { ∫ г Икс А ( Икс ) | Икс ⟩ ⟨ Икс | } | ф ⟩

должно быть ожидаемым значением функции A(x). Количество в скобках является оператором:

А ^ "=" ∫ г Икс А ( Икс ) | Икс ⟩ ⟨ Икс |

(Редактировать: как указал Тримок, вышеизложенное неверно для большинства операторов. Это верно только для любого оператора, который является диагональным в базисе x или, что то же самое, может быть записан как функция оператора Икс ^ . Это единственный тип оператора, для которого математическое ожидание и более высокие моменты могут быть вычислены с помощью | ф ( Икс ) | 2 как функция плотности вероятности.)

Ожидаемое значение этого оператора равно

⟨ А ⟩ "=" ⟨ ф | А ^ | ф ⟩

Будь осторожен. Для оператора А ^ , обозначение А ( Икс ) , как функция, не имеет смысла, за исключением случаев, когда | Икс ⟩ является собственным вектором А ^ : А ^ | Икс ⟩ "=" А ( Икс ) | Икс ⟩ . В этом конкретном случае А ( Икс ) является собственным значением оператора А ^ соответствующий собственному вектору | Икс ⟩ . Но в целом это не имеет смысла. Например, с оператором импульса п ^ , обозначение " п ( Икс ) "было бы нонсенсом, потому что | Икс ⟩ не является собственным вектором для п ^ .
Я хотел обобщить из конкретного случая размышления о | ф ( Икс ) | 2 как плотность вероятности, в которой только диагональные операторы Икс имеет смысл, к общему случаю нахождения среднего значения любого оператора. Я не имел в виду, что любой оператор можно диагонализовать по x-базису. Хотя это немного вводит в заблуждение.

На языке Бра-Кет: Волновая функция определяется как коэффициент расширения произвольного состояния в пространственной базовой кет. | α ⟩ "=" ∫ г Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс | α ⟩ "=" ∫ г Икс | Икс ⟩ ф α ( Икс ) . Для общего состояния | α ⟩ , ф α является волновой функцией. Вероятность ф * ф "=" | ⟨ Икс | α ⟩ | 2 .

Как понять волновую функцию в квантовой механике в математике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v