Почему квадрат величины волновой функции дает нам плотность вероятности? [дубликат]

Question

Почему квадрат величины волновой функции дает нам плотность вероятности? [дубликат]

Физика
прирожденное правило
вероятность
волновая функция
комплексные числа
квантовая механика

Ланн625

Мой вопрос не выходит за рамки заголовка: почему

{| ψ (Икс, т) |}^{2}

$\left | \psi \left ( x,t \right ) \right |^{2}$ дать нам плотность вероятности того, что что-то появится в определенном месте? Я это понимаю

{| ψ (Икс, т) |}^{2} "=" ψ {(Икс, т)}^{*} ψ (Икс, т)

$\left | \psi \left ( x,t \right ) \right |^{2} = \psi \left ( x,t \right )^{*}\psi \left ( x,t \right )$ где

ψ {(x, t)}^{*}

$\psi \left ( x,t \right )^{*}$ является комплексно-сопряженным, но я до сих пор не понимаю, как умножение этих двух вариантов волнового уравнения дает нам вероятность местоположения.

Гоненц

возможный дубликат правила Борна, в чем причина?

Любопытный Разум

возможный дубликат правила Борна и унитарной эволюции

Даниэль Санк

Это буквально потому, что именно это означает волновая функция . Спросите себя: «Почему электрическое поле дает нам силу на единицу заряда объекта?». Ответ заключается в том, что мы наблюдаем, что в некоторых ситуациях заряженные объекты испытывают силу, пропорциональную их заряду, поэтому мы придумали «электрическое поле», чтобы объяснить это.

Ян Лалински

@DanielSank, электрическое поле изначально было представлено как сила на единицу заряда; тогда тривиально, что произведение силы и заряда дает силу. Однако функция

ψ (x)

$\psi(x)$ такого введения нет. Это чисто математическое понятие, определяемое уравнением Шредингера и граничными условиями. В его определении нет никакой вероятности. Тогда вопрос «почему интеграл от квадрата величины дает вероятность» весьма нетривиален.

Даниэль Санк

@ JánLalinský Это приведет нас к обсуждению научного метода и более общих идей о том, что значит заниматься наукой. Мы не должны проводить это обсуждение в комментариях. Я оставлю свое окно чата открытым сегодня на случай, если вы захотите обсудить.

Ответы (2)

Почему квадрат величины волновой функции дает нам плотность вероятности? [дубликат]

возможный дубликат правила Борна, в чем причина?
возможный дубликат правила Борна и унитарной эволюции
Это буквально потому, что именно это означает волновая функция . Спросите себя: «Почему электрическое поле дает нам силу на единицу заряда объекта?». Ответ заключается в том, что мы наблюдаем, что в некоторых ситуациях заряженные объекты испытывают силу, пропорциональную их заряду, поэтому мы придумали «электрическое поле», чтобы объяснить это.
@DanielSank, электрическое поле изначально было представлено как сила на единицу заряда; тогда тривиально, что произведение силы и заряда дает силу. Однако функция $\psi(x)$ такого введения нет. Это чисто математическое понятие, определяемое уравнением Шредингера и граничными условиями. В его определении нет никакой вероятности. Тогда вопрос «почему интеграл от квадрата величины дает вероятность» весьма нетривиален.
@ JánLalinský Это приведет нас к обсуждению научного метода и более общих идей о том, что значит заниматься наукой. Мы не должны проводить это обсуждение в комментариях. Я оставлю свое окно чата открытым сегодня на случай, если вы захотите обсудить.

Любопытный Разум · Answer 1

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 \rvert}$ Как частный случай правила Борна , утверждающего, что при заданном состоянии $\ket{\chi}$ , вероятность найти его в состоянии $\ket{\psi}$ дается (для нормализованных состояний) $\lvert \bra{\chi} \psi \rangle \rvert^2$ , это аксиома в стандартных формулировках квантовой механики, что

| ψ (Икс) |^{2} "=" | ⟨ Икс | ψ ⟩ |^{2}

$\lvert\psi(x)\rvert^2 = \lvert \bra{x} \psi\rangle \rvert^2$ есть вероятность (плотность) найти объект в

x

$x$ .

Правило, объявленное вами как аксиома, не является частным случаем правила, утверждающего данное состояние $\ket{\chi}$ , вероятность найти его в состоянии $\ket{\psi}$ дается (для нормализованных состояний) $\lvert \bra{\chi} \psi \rangle \rvert^2$ . Это два отдельных правила, потому что первое дает вероятность как интеграл от квадрата, а второе дает вероятность как квадрат интеграла. К сожалению, оба они называются правилом Борна.

Феникс87 · Answer 2

Это происходит из математической основы квантовой механики. Общее ожидаемое значение является результатом вычисления состояния $\omega$ над некоторыми наблюдаемыми $A$ . Математически говоря $A$ является самосопряженным оператором из C*-алгебры $\mathfrak A$ наблюдаемых и $\omega$ это состояние над $\mathfrak A$ , т. е. нормированный положительный линейный функционал на $\mathfrak A$ . По теореме Рисса-Маркова существует регулярная вероятность (что на данный момент означает, что она дает меру 1 на всем спектре $A$ ) мера $\mu_\omega$ переносится спектром $A$ такой, что

ю (А) "=" \int_{о (А)} λ г {мю}_{ю} (λ) .

$\omega(A) = \int_{\sigma(A)}\lambda\ \text d\mu_\omega(\lambda).$ Вероятностная интерпретация связана с тем, что для любого подмножества

U \subset σ (A)

$U\subset\sigma(A)$ , номер

\int_{U} г {мю}_{ю} (А)

$\int_U\text d\mu_\omega(A)$ затем можно интерпретировать как вероятность нахождения результата меры

A

$A$ о состоянии

ω

$\omega$ в диапазоне значений

U

$U$ (напомним, что самосопряженный оператор имеет спектр, содержащийся в

R

$\mathbb R$ ).

Когда представление канонического отношения коммутации является представлением Шредингера (которое является единственным с точностью до изоморфизма), состояния находятся во взаимно однозначном соответствии с проективным гильбертовым пространством. $PL^2(\mathbb R)$ (Для простоты я предполагаю только одну степень свободы). В частности, поскольку это неприводимое представление, каждое допустимое чистое состояние соответствует (классу или лучу) вектора в $L^2(\mathbb R)$ , и поэтому

ю (д) "=" (ψ_{ю}, д ψ_{ю}) "=" \int Икс | ψ_{ю} (Икс) |^{2} г Икс .

$\omega(q) = (\psi_\omega,q\psi_\omega) = \int x|\psi_\omega(x)|^2\text dx.$ Сравнивая это выражение с приведенным выше из теоремы Рисса-Маркова, можно интерпретировать

| ψ_{ω} (x) |^{2}

$|\psi_\omega(x)|^2$ как плотность вероятности по спектру оператора положения

q

$q$ , т.е.

R

$\mathbb R$ для трансляционно-инвариантных систем.

Короче говоря, из формулы ожидаемого среднего $\int \psi^*\hat{A}\psi\,dx$ и его применение для координации $x$ мы заключаем, что плотность вероятности $x$ является $|\psi(x,t)|^2$ . Однако тогда возникает вопрос, почему среднее математическое ожидание рассчитывается именно так?
@ JánLalinský Каждый всегда столкнется с окончательным «почему», на который можно ответить только «потому что мы хотим соответствовать данным, полученным в результате экспериментов». Это не математическая теория, это математическая модель поведения природы.
@JánLalinský, что ты имеешь в виду? Вы спрашиваете, почему среднее значение рассчитывается как $\int\lambda\text d\mu$ или почему в квантовой механике он имеет такую форму? Ответ на первое: по определению; ответ на последний вопрос заключается в том, что именно так определяется скалярный продукт в гильбертовом пространстве.
@annav, формула ожидаемого среднего столь же загадочна, как и формула, используемая в качестве правила Борна. Правда, не все можно объяснить, но не очевидно, что правило Борна относится к числу таких вещей.
@ Phoenix87, указанная вами причина - правило расчета средних значений - не совсем удовлетворительна, потому что, как и в случае с правилом Борна, неясно, почему эта формула лучше других. Нет смысла объяснять законность этих вещей в физике, говоря, что они являются определениями.
@JánLalinský Конечно, это имеет смысл. Физика это не математика. Он использует математику с дополнительными постулатами с силой аксиом, которые связывают/интерпретируют математические формулы с физически измеримыми величинами. Одной из этих физических аксиом/постулатов является интерпретация величин как вероятностей для измерения наблюдаемых. Без версии правила Борна квантовая механика не имеет смысла, не связана с данными. гиперфизика.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/qm.html
@JánLalinský Единственная аксиома, которую я принял при выводе первого уравнения, такова: каждая квантово-механическая система связана с C*-алгеброй, самосопряженная часть которой представляет собой набор всех наблюдаемых и ее пространство состояний (или, возможно, просто подмножество it) представляет собой множество всех физических состояний. Тогда все остальное следует из стандартной теории С*-алгебр (в частности, их теории представлений). Для последнего уравнения нужно только добавить канонические коммутационные соотношения, которые являются просто способом объяснить принцип Гейзенберга. Никаких дополнительных предположений не требуется.
@annav, ты упускаешь суть. На вопрос «почему мы верим, что ожидаемое среднее дается X», ответ «потому что это определение ожидаемого среднего» не имеет смысла, потому что ожидаемое среднее уже имеет определение в теории вероятностей.

Почему квадрат величины волновой функции дает нам плотность вероятности? [дубликат]

Ланн625

Гоненц

Любопытный Разум

Даниэль Санк

Ян Лалински

Даниэль Санк

Ответы (2)

Любопытный Разум

Ян Лалински

Феникс87

Ян Лалински

Анна В

Феникс87

Ян Лалински

Ян Лалински

Анна В

Феникс87

Ян Лалински

Почему конкретно плотность вероятности определяется как |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Амплитуда амплитуды вероятности. Который из них?

Есть ли какой-нибудь оператор за вероятностью в квантовой механике?

Нормализация волновой функции означает...?

Почему |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 плотность вероятности?

Имеет ли вообще какое-либо значение |⟨p|ψ⟩|2|⟨p|ψ⟩|2\lvert\langle p\lvert\psi\rangle\rvert^2?

Почему мы используем ψψ\psi вместо простой вероятности?

Что происходит на бесконечно длинном потенциальном шаге, когда E

Почему ненормируемые решения не могут представлять частицы?

Как понять волновую функцию в квантовой механике в математике