Имеют ли калибровочные теории (КТТ) фазовые переходы при изменении связи 'т Хофта?

В известном мне примере не используется связь 't Hooft, но я думаю, что он может ответить на ваш вопрос более простым способом (я буду "свободен" с константами и числовыми предварительными коэффициентами, но сохраню всю соответствующую информацию и детали ).

Подумайте об 0-мерном скалярном поле (бозонном$D0$-брана) с потенциалом четвертой степени а-ля$V(\phi) = \mu\,\phi^2 + \lambda\,\phi^4$. И, если вы позволите мне немного поэтической вольности с многочленами, позвольте мне переписать этот потенциал в следующем виде:$V_g(\phi) = \phi^2 + g\,\phi^4$, куда$g=\lambda/\mu$, и должно быть понятно, что "большие$g$" означает "сильная связь", а "малая$g$" означает "слабая связь".

Статистическая сумма (интеграл Фейнмана по траекториям) для этой функции определяется выражением

$$\mathcal{Z}_g[J] = \int e^{i\, S_g(\phi)}\,e^{i\,J\,\phi}\,\mathrm{d}\phi < \infty\; ;$$ куда $S_g[\phi] = V_g(\phi)$- это действие системы (где я сохраняю константу связи явной), а требование состоит в том, чтобы интеграл сходился (поэтому статистическая сумма в некотором смысле «хорошо определена»).

Но есть дифференциальная версия вышеприведенного, называемая уравнением Швингера-Дайсона, которая определяется как

$$\frac{\partial S_g(\phi)}{\partial\phi} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \mu\,\phi + \lambda\,\phi^3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; \phi\,(1 + g\,\phi^2) = 0\;;$$ вспоминая это $\phi\mapsto\partial_J=\partial/\partial J$, что дает нам следующее:

$$(\partial_J + g\,\partial_J^3)\,\mathcal{Z}(J) = J\;.$$

Из этого дифференциального уравнения вы ясно знаете одно: есть 3 решения вышеуказанной задачи. Это означает, что каждое решение допускает интегральное представление, которое представляет собой статистическую сумму, связанную с этим конкретным решением.

На самом деле каждый$\mathcal{Z}_g(J)$определяется внутри определенного клина Стокса, что означает, что когда вы пересекаете линию Стокса, вы получаете некоторый нетривиальный постоянный вклад (очень похоже на явление пересечения стены).

Кроме того, вы можете записать решения вышеизложенного в терминах [конфлюэнтных] гипергеометрических функций (или, если хотите, в терминах G-функции Мейера или H-функции Фокса) и выделить их полилогарифмический вклад, который связан с его сингулярности (полюса) и может иметь большое значение, когда речь идет о теории возмущений.

В любом случае, это всего лишь версия «crash-core-dump» того, что, как я полагаю, атакует ваш вопрос; дело в том, что$g$обозначает ваши «квантовые фазы». Обратите внимание, что можно расширить область со скалярными значениями на векторные, матричные, тензорные и алгебраические значения: все упомянутые результаты проходят с небольшими изменениями (такими как отслеживание соответствующих переменных и т. д.).

Надеюсь это поможет.