Конформные КТП для D>2D>2D>2

Класс трехмерных КТП, которые явно унитарны и имеют классические лагранжианы на оболочке, инвариантные относительно жестких$N$-расширенная конформная супералгебра, как известно, допускает хорошую характеризацию для$N>3$. Эта характеристика принадлежит Гайотто и Виттену (в разделе 3.2 https://arxiv.org/abs/0804.2907 ) и проложила путь для ряда последующих результатов классификации для$N>3$SCFT в 3d за последние несколько лет.

Общий на оболочке$N=3$лагранжиан внутри этого класса включает член Черна--Саймонса для нединамического калибровочного поля, связанного с гипермультиплетными материальными полями в вещественном представлении калибровочной группы. Классический$N=3$суперконформная симметрия однозначно фиксирует суперпотенциал в терминах канонической функции четвертого порядка, построенной из представления материи. Теоремы о неперенормировке предполагают, что любая такая теория обладает точно такой же суперконформной симметрией на квантовом уровне. Таким образом, выбор калибровочной группы, представления материи и взаимодействий Черна--Саймонса достаточен для определения любого такого лагранжиана.

Жесткая форма$N=3$суперпотенциал можно вывести, рассмотрев возможную структуру связей Юкавы в лагранжиане на оболочке. В частности, это следует из требования их инвариантности относительно${\mathfrak{so}} (3)$R-симметрия в$N=3$супералгебра. Ключевое понимание Гайотто и Виттена состояло в том, чтобы реализовать это усовершенствование для$N>3$суперконформная симметрия может иметь место только в том случае, если эти связи Юкавы инвариантны относительно${\mathfrak{so}} (4)$R-симметрия в$N=4$супералгебра. В двух словах, их характеристика для того, чтобы это произошло, состоит в том, что калибровочная алгебра и представление материи должны собираться в четную и нечетную части некоторой вспомогательной супералгебры Ли.

За$N>4$, оказывается, что любой неразложимый лагранжиан в этом классе основан на представлении неприводимой материи, характеризуемом вложением в одну из классических простых супералгебр Ли (классифицированных В. Г. Кацем в 1977 г.). За$N=5$, каждый тип классической простой супералгебры Ли кодирует суперконформный лагранжиан. Уточнение до$N>5$восстанавливает классификацию, полученную Шнаблом и Тачикавой в https://arxiv.org/abs/0807.1102 , содержащую знаменитые модели ABJ(M) и BLG как частные случаи. Можно доказать, что$N=7$не происходит, поскольку автоматически подразумевает$N=8$.

За$N=4$, общая картина немного сложнее. Данный$N>4$суперконформной симметрии следует, что целевое пространство для гипермультиплетных скаляров должно быть плоским. Это не обязательно относится к$N=4$хотя и можно построить$N=4$SCFT, в которых гипермультиплетный лагранжиан заменен калиброванной нелинейной сигма-моделью (с неплоской гиперкэлеровой мишенью). Неразложимый$N=4$SCFT с плоской целью имеют довольно сложную классификацию (изложенную в конце раздела 3.1 в https://arxiv.org/abs/0908.2125 ) в терминах некоторых цепей классических простых супералгебр Ли, правила связывания которых напоминают игру в домино. !