Как определяется произведение L⋅SL⋅SL\cdot S операторов орбитального и спинового углового момента? Действуют ли они в одних и тех же гильбертовых пространствах или в разных?

Для электрона гильбертовы пространства для спинового углового момента и орбитального углового момента одинаковы или различны? Если они разные, как нам обосновать оператор л ⋅ С в спин-орбитальной связи?

Кроме того, для соединения двух спинов какое гильбертово пространство рассматривается? Это С 2 ⊗ С 2 как я думаю должно быть или иначе? Если это то, что я думаю, так и должно быть, в чем смысл оператора С 1 ⋅ С 2 ?

Ответы (1)

Для обеих ситуаций, которые вы рассматриваете, векторные пространства различны, а совместное пространство состояний является тензорным произведением отдельных векторных пространств.

Для описания операторов в этом пространстве мы просто используем тензорное произведение операторов: если л ^ г : ЧАС о р б → ЧАС о р б и С ^ г : ЧАС с п я н → ЧАС с п я н , то их тензорное произведение

л ^ г ⊗ С ^ г : ЧАС о р б ⊗ ЧАС с п я н → ЧАС о р б ⊗ ЧАС с п я н
однозначно определяется своим действием на состояния продукта
( л ^ г ⊗ С ^ г ) | ψ ⟩ ⊗ | ф ⟩ "=" ( л ^ г | ψ ⟩ ) ⊗ ( С ^ г | ф ⟩ )
и по линейности.

Помимо этой структуры, мы часто рассматриваем векторные операции над векторными символами этих операторов, включая, в частности, их скалярное произведение.

л ^ ⋅ ⊗ С ^ "=" ∑ Дж "=" 1 3 л ^ Дж ⊗ С ^ Дж .
Это правильное скалярное произведение, поскольку можно показать, что оно не зависит от базиса, по которому взяты компоненты, потому что каждый компонент преобразуется как вектор, и поэтому обычные методы доказательства все еще применяются.

Теперь на практике мы обычно опускаем явные метки тензорного произведения ⊗ если нам действительно не нужна ясность, потому что структура обычно ясна из контекста (так что продукт, подобный л ^ г С ^ г обычно недвусмысленно), а явные метки добавляют нотации и, следовательно, затрудняют чтение. Таким образом, то, что вы обычно видите, является обозначением формы

л ^ ⋅ С ^ "=" ∑ Дж "=" 1 3 л ^ Дж С ^ Дж .
в котором тензорные произведения между операторами, действующими в разных секторах пространства состояний, неявны.

Да, вы правы, именно так я и думал. Однако, когда я прочитал об обменном взаимодействии, у него были следующие шаги: ЧАС "=" − ∑ я , Дж Дж я Дж С я . С Дж + г мю Б ∑ я С я . Б "=" г мю Б ∑ я С я . ( Б + Б ′ ) , где Б ′ "=" − 2 г мю Б ∑ Дж ( Дж я Дж С Дж ) . Насколько мне известно, магнитное поле в данном случае не считается оператором, а если и является, то не в том же пространстве, что и спин. Б ′ . Следовательно, если я считаю ваше определение правильным (что интуитивно кажется таковым), то этот вывод должен быть неправильным, что приводит к неправильной формулировке ферромагнетизма.
@Souradeep статус оператора магнитного поля зависит от контекста; в формализме, который вы цитируете, вы работаете в эффективной формулировке, в которой аспекты КЭД, на которые вы ссылаетесь, были исключены, так что идентификация Б ′ как оператор, зависящий от С Дж вполне правомерно. Ничего в вашем предыдущем комментарии не выглядит неправильным. (Если вас не беспокоит добавление Б с Б ′ ? Там Б это просто с -number scalar, который тривиально разрешается в этот скаляр, умноженный на любую идентификационную матрицу, которую вам нужно включить. В этом нет ничего плохого Б + Б ′ .)
О, я понял. Итак, когда кто-то пишет SB, это подразумевает ∑ я С я ⊗ 1 Б я . Большое спасибо за разъяснения. Искренне оцените это.
Именно — но заметьте, что на самом деле он гораздо обширнее. Если у вас есть н вращается, и вам нужна полностью строгая нотация тензорного произведения для С я , то, что вы действительно должны писать, это 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 ⊗ С я ⊗ 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 , с я − 1 факторы слева и н − я − 2 факторы справа, потому что ваше гильбертово пространство н -кратное тензорное произведение пространства состояний с одним спином, и если вы хотите быть полностью строгим, вам нужно указать, что действие на другие факты является тождеством. Это то, что я имел в виду, когда сказал, что это «добавляет объем обозначений».
Да, это именно тот формализм, который я использовал для приведенного выше вывода после выяснения вышеуказанного вопроса. Большое спасибо за понимание.
Как определяется произведение L⋅SL⋅SL\cdot S операторов орбитального и спинового углового момента? Действуют ли они в одних и тех же гильбертовых пространствах или в разных?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v