Импульс частицы при столкновении, выраженный в переменной Мандельштама

Рассмотрим процесс s канала, я использую метрическую конвекцию$+---$вместо этого ограничения таковы: Сохранение четырех импульсов:$p_{1}^{\mu}+p_{2}^{\mu}=p^{\mu}$и по состоянию массовой оболочки$p_{i}^{2}=m_{i}^{2}$.

Расчет можно упростить, используя систему центра масс, в которой 3 импульса сталкивающихся частиц равны по величине и противоположны по направлению:

$$\begin{equation} \vec{p}_{1}=-\vec{p}_{2} \end{equation}$$ то частицы 4 подчинялись импульсу: $$\begin{align} p_{1}=(E_1,\vec{p}_1)\;\;\;\; p_{2}=(E_2,-\vec{p}_{1})\;\;\;\; p=(E_1+E_2,0) \end{align}$$ Определить инвариантную величину Лоренца$s$как квадрат четырех импульсов суммы сталкивающихся частиц: $$\begin{equation} s=(p_1+p_2)^{2} \end{equation}$$ Поскольку сумму энергий и энергии массы покоя можно измерить, желательно выразить импульс через эти параметры, теперь возьмем скалярное произведение сохранения четырех импульсов с частицей$1$импульс: $$\begin{equation} p\cdot p_1=p_1 \cdot p_1+p_1 \cdot p_2 \rightarrow \sqrt{s}E_{1}=m_{1}^{2}+p_{1}\cdot p_{2} \end{equation}$$ Последний член можно исключить, используя квадрат сохранения четырех импульсов: $$\begin{equation} p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}=s \rightarrow p_1 \cdot p_2=\frac{s-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})}{2} \end{equation}$$ Подставьте это выражение, чтобы получить$E_1$с точки зрения$s,m_1,m_2$: $$\begin{equation} E_1=\frac{1}{2\sqrt{s}}(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}) \end{equation}$$ Следовательно, можно найти величину 3-импульса частицы 1: $$\begin{equation} |\vec{p}_1|=\sqrt{E_{1}^{2}-m_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4s}(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-m_{1}^{2}} \end{equation}$$ Пара шагов алгебры: $$\begin{equation} |\vec{p}_{1}|=\sqrt{\frac{1}{4s}[s^{2}+2(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})s+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{-4sm_{1}^{2}]} \end{equation}$$ Наконец я получаю величину: $$\begin{equation} |\vec{p}_{1}|=\frac{1}{2\sqrt{s}}\sqrt{s^{2}-2(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})s+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^2} \end{equation}$$ Я изо всех сил пытаюсь преобразовать в лабораторную систему отсчета, чтобы получить импульс частицы № 1 в этой системе отсчета, где частица № 2 изначально покоится, я не уверен, как можно выполнить обратное преобразование.