Квантовый импульс (Де Бройль)

В соотношении де Бройля$p=\hbar k$, левая часть представляет импульс частицы , а$k$справа — волновое число волны . Ключевым моментом здесь является то, что если соотношение будет верным, волна должна иметь правильную амплитуду, чтобы представлять ровно одну частицу.

Например, предположим, что у нас есть световая волна, которая представляет ровно один фотон света. Он имеет определенную энергию и частоту, связанные соотношением$E=\hbar \omega$, а также некоторый импульс и волновое число, связанные соотношением$p=\hbar k$.

Теперь предположим, что мы берем эту световую волну и увеличиваем ее амплитуду (т. е. силу ее электрического и магнитного полей) в 2 раза. Поскольку энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды, это увеличивает энергию в четыре раза. Это также увеличивает импульс в четыре раза. (Это можно увидеть либо с помощью релятивистского соотношения$E=pc$для m=0 или с помощью вектора Пойнтинга.) Но мы не изменили$\omega$или$k$, поэтому эта волна нарушает соотношения де Бройля. Ключевым моментом здесь является то, что эта волна больше не имеет подходящей силы для представления одного фотона. Он представляет четыре фотона.

Давайте поиграем с некоторыми числами в случае гитарной струны. Сказать$\omega$составляет 1000 Гц, и$E$составляет 1 Дж. Когда вы вычисляете$\hbar\omega$, вы получите что-то на много порядков меньшее, чем это$E$. Это потому, что в гитарной струне не одна частица, их много. Та же идея применима и к импульсу.

Предположение, которое Планк сделал из своего закона Планка об излучении черного тела, заключалось в том, что электромагнитное излучение квантуется, оно принимает только целые кратные величины$hf$, где$h$- постоянная Планка (с единицами энергии$\times$время и$f$- частота излучения (в единицах 1/раз). Это энергия квантов электромагнитного излучения - фотона.

Итак, во-первых, постоянная Планка$h$был определен Планком как константа пропорциональности между энергией$E$фотона и частоты связанной с ним электромагнитной волны.

$E=hf$

Это можно переписать в терминах длины волны вместо частоты, используя соотношение$f=c/\lambda$. Мы получаем:

$E=\frac{hc}{\lambda}$(1)

Кроме того, из специальной теории относительности соотношение энергии-импульса$E^2=m^2 c^4 + p^2 c^2$мы знаем, что для фотона с нулевой массой покоя$m=0$, его энергия связана с его импульсом соотношением:

$E=pc$(2)

Объединяя уравнения (1) и (2), получаем:

$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$, где$\hbar=\frac{h}{2\pi}$и$k=\frac{2\pi}{\lambda}$.

Де Бройль сделал предположение, что частицы обладают и волновыми свойствами, т. е. частотой и длиной волны, и это было доказано экспериментально. Они частицы и волны одновременно. Волновые свойства частиц задаются уравнениями де Бройля:

$f=\frac{E}{h}$и$\lambda=\frac{h}{p}$

Итак, для данной энергии частицы$E$и импульс$p$мы можем найти его частоту и длину волны.