Инфинитезимальное преобразование Лоренца антисимметрично

Question

Инфинитезимальное преобразование Лоренца антисимметрично

пользователь82235

Метрика Минковского преобразуется при преобразованиях Лоренца как

\begin{aligned} η_{р о} "=" η_{мю ν} Λ_{р}^{мю} Λ_{о}^{ν} \end{aligned}

$\begin{align*}\eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \ \ \rho} \Lambda^\nu_{\ \ \ \sigma} \end{align*}$

Я хочу показать, что при бесконечно малом преобразовании $\Lambda^\mu_{\ \ \ \nu}=\delta^\mu_{\ \ \ \nu} + \omega^\mu_{{\ \ \ \nu}}$ , что $\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}$ .

Я попытался расширить себя:

\begin{aligned} η_{р о} & "=" η_{мю ν} ({дельта}_{р}^{мю} + ю_{р}^{мю}) ({дельта}_{о}^{ν} + ю_{о}^{ν}) \\ "=" ({дельта}_{ν р} + ю_{ν р}) ({дельта}_{о}^{ν} + ю_{о}^{ν}) \\ "=" {дельта}_{р о} + ю_{о}^{р} + ю_{о р} + ю_{ν р} ю_{о}^{ν} \end{aligned}

$\begin{align*} \eta_{\rho\sigma} &= \eta_{\mu\nu}\left(\delta^\mu_{\ \ \ \rho} + \omega^\mu_{{\ \ \ \rho}}\right)\left(\delta^\nu_{\ \ \ \sigma} + \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}}\right) \\ &= (\delta_{\nu\rho}+\omega_{\nu\rho})\left(\delta^\nu_{\ \ \ \sigma} + \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}}\right) \\ &= \delta_{\rho\sigma}+\omega^\rho_{\ \ \ \sigma}+\omega_{\sigma\rho}+\omega_{\nu\rho} \omega^\nu_{{\ \ \ \sigma}} \end{align*}$

Прошло много времени с тех пор, как я имел дело с тензорами, поэтому я не знаю, как действовать дальше.

jdm

@Qmechanic: Почему тег «домашнее задание» ? «[...] любой вопрос, на который предпочтительнее подвести спрашивающего к ответу, а не сразу дать его». - Если это не настоящая домашняя работа, разве ОП не должен решать, какой ответ он предпочитает? Если бы я задал вопрос и мне нужен был ответ для реальной работы , я был бы очень недоволен, если бы мне дали педагогический ответ.

Qмеханик

@jdm: тег домашнего задания не имеет отношения к тому, является ли это домашним заданием или нет; это относится к содержанию вопроса. Подробнее см. в политике домашних заданий Phys.SE.

пользователь82235

Извините, мне нужно не забыть добавить теги домашних заданий >_<

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com/q /28535/2451

Ответы (2)

Инфинитезимальное преобразование Лоренца антисимметрично

@Qmechanic: Почему тег «домашнее задание» ? «[...] любой вопрос, на который предпочтительнее подвести спрашивающего к ответу, а не сразу дать его». - Если это не настоящая домашняя работа, разве ОП не должен решать, какой ответ он предпочитает? Если бы я задал вопрос и мне нужен был ответ для реальной работы , я был бы очень недоволен, если бы мне дали педагогический ответ.
@jdm: тег домашнего задания не имеет отношения к тому, является ли это домашним заданием или нет; это относится к содержанию вопроса. Подробнее см. в политике домашних заданий Phys.SE.
Извините, мне нужно не забыть добавить теги домашних заданий >_<
Связанный: физика.stackexchange.com/q /28535/2451

Джинави · Answer 1

Обратите внимание, что если вы понизите индекс дельты Кронекера, он станет метрикой:

$\eta_{\mu\nu}\delta^{\mu}_{\rho}=\delta_{\nu\rho}=\eta_{\nu\rho}$

И на последнем шаге вы получили неправильный индекс. Должен быть $\omega_{\rho\sigma}$ , нет $\omega^{\rho}_{\sigma}$ .

Затем метрические члены сокращаются, и вы пренебрегаете квадратичными членами.

Этого должно быть достаточно, чтобы решить эту проблему.

нижанковски · Answer 2

Поскольку преобразование Лоренца справедливо для любого $x\in M_{4}$ , его можно переписать как $\Lambda_{\rho}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\sigma}^{\nu}=\eta_{\rho\sigma}$ . Подставляя инфинитезимальную форму преобразования Лоренца в предыдущую формулу, мы получаем

({дельта}_{р}^{мю} + ю_{р}^{мю}) η_{мю ν} ({дельта}_{о}^{ν} + ю_{о}^{ν}) + о (ю^{2}) "=" η_{р о}

$(\delta_{\rho}^{\mu}+\omega_{\rho}^{\mu})\eta_{\mu\nu}(\delta_{\sigma}^{\nu}+\omega_{\sigma}^{\nu})+o(\omega^{2})=\eta_{\rho\sigma}$

после расширения

η_{р о} + ю_{р}^{мю} η_{мю ν} {дельта}_{о}^{ν} + ю_{о}^{ν} η_{мю ν} {дельта}_{р}^{мю} + о (ю^{2}) "=" η_{р о}

$\eta_{\rho\sigma}+\omega_{\rho}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\delta_{\sigma}^{\nu}+\omega_{\sigma}^{\nu}\eta_{\mu\nu}\delta_{\rho}^{\mu}+o(\omega^2)=\eta_{\rho\sigma}$

и отсюда мы видим, что

ю_{р о} + ю_{о р} "=" 0 \Rightarrow ю_{р о} "=" - ю_{о р}

$\omega_{\rho\sigma}+\omega_{\sigma\rho}=0\Rightarrow\omega_{\rho\sigma}=-\omega_{\sigma\rho}$

Инфинитезимальное преобразование Лоренца антисимметрично

пользователь82235

jdm

Qмеханик

пользователь82235

Qмеханик

Ответы (2)

Джинави

нижанковски

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

Как бы я связал Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} с матрицей усиления Лоренца?

Инфинитезимальный генераторный поток преобразований Лоренца в пространстве-времени

Вигнеровское вращение

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Y:(t,x,y,z)→(t,x,−y,z)Y:(t,x,y,z)→(t,x,−y,z)Y: (t, x,y,z)\to(t,x,-y,z) преобразование Лоренца?

Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

Генераторы группы Лоренца и ее размерность

Интегрирование элементов группы Ли по параметрам соответствующей алгебры Ли