Интеграл по путям Z2Z2Z_2-орбифолдного свободного бозона на торе

Статистическая сумма$Z_2$-орбифолдный свободный бозон на 2-торе (параметризуемый$\tau\equiv\omega_2/\omega_1$) выводится операторным формализмом. Я хочу рассмотреть это в рамках интегрального подхода:

$$\begin{eqnarray} Z=\sum_{\nu,u}\prod_{m,n}\sqrt{\frac{\pi}{-\lambda_{m,n}^{(\nu,u)}}} \end{eqnarray}$$ где $\nu$и $u$принимая значения среди $0$и $1/2$определить различные граничные условия $$\begin{eqnarray} \phi(z+\omega_1)=\exp(i2\pi\nu)\phi(z), \\ \phi(z+\omega_2)=\exp(i2\pi u)\phi(z). \end{eqnarray}$$ $\lambda_{m,n}^{(\nu,u)}$являются собственными значениями лапласиана $\triangledown_\mu\triangledown^\mu$с $$\begin{eqnarray} \lambda_{m,n}^{(\nu,u)}=-\frac{4\pi^2[(m+\nu)-(n+u)\tau][(m+\nu)-(n+u)\bar\tau]}{L^2(\text{Im}\tau)^2}. \end{eqnarray}$$ Для простоты рассмотрим сектор, в котором $\nu=0$пока $u=1/2$поскольку в этом разделе нет нулевых мод, о которых нужно беспокоиться, и $m,n$может принимать любое целое число. Затем $$\begin{eqnarray} Z_{0,1/2}&=&\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}\sqrt{\frac{\pi}{-\lambda_{m,n}^{(0,1/2)}}}\\ &=&\sqrt{\frac{1}{\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}[m-(n+1/2)\tau][m-(n+1/2)\bar\tau]}} \end{eqnarray}$$ где $\prod_{n=-\infty}^\infty$a=1 используется. Для вычисления знаменателя можно определить $q=\exp(i2\pi\tau)$а потом $$\begin{eqnarray} &&\prod_{m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}}[m-(n+1/2)\tau][m-(n+1/2)\bar\tau]\\ &=&\prod_{n}\left\{\left[q^{-(n+1/2)/2}-q^{(n+1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\\ &=&\prod_{n\geq0}\left\{\left[q^{-(n+1/2)/2}-q^{(n+1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\prod_{n>0}\left\{\left[q^{-(n-1/2)/2}-q^{(n-1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}\\ &=&\prod_{n>0}\left\{\left[q^{-(n-1/2)/2}-q^{(n-1/2)/2}\right]\times\text{h.c.}\right\}^2\\ &=&(q\bar{q})^{-1/6}\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})^2(1-\bar{q}^{n-1/2})^2 \end{eqnarray}$$ что значит $$\begin{eqnarray} Z_{0,1/2}=\frac{(q\bar{q})^{1/12}}{\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})(1-\bar{q}^{n-1/2})}. \end{eqnarray}$$ Однако в традиционном введении в конформную теорию поля, таком как уравнение (8.23) "Прикладной конформной теории поля" П. Гинспарга, есть $\tau$-зависимость разности фаз: $$\begin{eqnarray} \tilde{Z}_{0,1/2}=\frac{(q\bar{q})^{1/48}}{\prod_{n=1}^\infty(1-q^{n-1/2})(1-\bar{q}^{n-1/2})}. \end{eqnarray}$$ Я действительно не могу понять существование этой маленькой, но существенной разницы. Я заметил, что разница фаз $1/16$что может быть связано с изменением нулевого режима генератора Вирасоро $L_0$при искажении граничного условия, но я не могу придать ему количественный смысл.