Определите коэффициенты расширения продукта оператора (OPE)

Его получают из уравнения (2.3.11), которое

$$\text{Res}_{z \to z_0} j(z) {\cal A}(z_0,{\bar z}_0) + \overline{\text{Res}}_{{\bar z} \to {\bar z}_0} {\tilde j}({\bar z}) {\cal A}(z_0, {\bar z}_0) = \frac{1}{i \epsilon} \delta {\cal A}(z_0, {\bar z}_0)$$ Это личность Уорда. Когда $j(z) = i v(z) T(z)$находим (только ориентируясь на голоморфную часть) $$\text{Res}_{z \to z_0} i v(z) T(z) {\cal A}(0,0) = \frac{1}{i \epsilon} \delta {\cal A}(z_0, {\bar z}_0) = i v(z) \partial {\cal A}(0,0)$$ Давайте теперь сосредоточимся на переводах в первую очередь. Здесь $v(z) = v$(постоянный). Под переводами $\delta {\cal A}(0,0) = - \epsilon v \partial {\cal A}(0,0)$. Уравнение выше тогда читается $$i v\partial {\cal A}(0,0) = i v \text{Res}_{z \to 0} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n+1}} = i v {\cal A}^{(0)}(0,0)$$ Таким образом $${\cal A}^{(0)}(0,0) = \partial {\cal A}(0,0)$$ Теперь рассмотрим преобразование при масштабировании $v(z) = z$. В этом случае $${\cal A}'(z', {\bar z}) = (1 + \epsilon )^{-h} {\cal A}(z,{\bar z}) \implies \delta {\cal A}(z , {\bar z}) = \epsilon \left[ - h {\cal A}(z,{\bar z})- z \partial{\cal A}(z, {\bar z}) \right]$$ Подставляя его в предыдущее уравнение, находим $$h {\cal A}(0,0) = \text{Res}_{z \to z_0} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n}} = {\cal A}^{(1)}(0,0)$$ Подставляя это обратно в уравнение, мы находим $$T(z) {\cal A}(0,0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{ {\cal A}^{(n)}(0,0)}{z^{n}} = \cdots + \frac{h {\cal A}(0,0)}{z^2} + \frac{\partial {\cal A}(0,0) }{z} + \cdots$$

У вас есть 2 вида преобразования, которые помогут вам найти OPE$(2.4.14)$, расширения$(2.4.13)$и переводы.

Для каждого из этих преобразований мы должны определить бесконечно малые величины преобразований$v(z)$определяется:$z' = z+\epsilon v(z)$и бесконечно малая модификация полей$\delta A(z,\bar z)$. Ток, заданный$j(z) = i v(z)T(z)$ $(2.4.5)$, мы будем использовать тождества Уорда$(2.3.11)$:

$$Res_{z \rightarrow z_0} (j(z)A(z_0, \bar z_0)) + \bar Res_{\bar z \rightarrow \bar z_0}(\bar j(z)A(z_0, \bar z_0)) = \frac{1}{i \epsilon} \delta A(z_0, \bar z_0)$$

Предположим, что ОРЕ имеет вид:

$T(z) A(0,0) \sim \cdots + \frac{a}{z^2}A(0,0) + \frac{b}{z} \partial A(0,0)+\cdots$, где$a$и$b$подлежат определению.

Расширения

Бесконечно малое преобразование, соответствующее$z'= \zeta z$, использует$\zeta = 1 + \epsilon$,$z' = z +\epsilon z$, так вот$v(z) = z$; и$\bar v(z) = \bar z$

Преобразование полей$A(z',\bar z') = \zeta^{-h}\bar \zeta^{- \tilde h} A(z,\bar z)$, это соответствует бесконечно малому преобразованию$\delta A(z, \bar z) = - \epsilon h~ A(z,\bar z) - \bar \epsilon \tilde h~ A(z,\bar z)$

Итак, применяя тождество Уорда и сохраняя только голоморфную часть, мы видим, что:

$$Res_{z \rightarrow 0}(i ~z ~T(z)~A(0,0)) = \frac{1}{i ~\epsilon}(- \epsilon h A(0,0))$$

Это значит, что$T(z)~A(0,0)$имеет компонент$\frac {h}{z^2}A(0,0)$, чтобы иметь полюс с правильным остатком.

Переводы

Здесь$v(z) = v$= постоянная; и$\delta A = - \epsilon (v\partial A + \bar v \bar \partial A)$. Итак, применяя тождество Уорда, сохраняя голоморфную часть, получаем:

$$Res_{z \rightarrow 0}(i ~v ~T(z)~A(0,0)) = \frac{1}{i ~\epsilon}(- \epsilon v \partial A(0,0))$$

Это значит, что$T(z)~A(0,0)$имеет компонент$\frac {1}{z}A(0,0)$, чтобы иметь полюс с правильным остатком.

Итак, наконец:

$$T(z) A(0,0) \sim \cdots + \frac{h}{z^2}A(0,0) + \frac{1}{z} \partial A(0,0)+\cdots$$

Конечно, эквивалентная демонстрация справедлива и для антигоморфной части.

Давайте работать в рамках гильбертова пространства, в котором все задействованные объекты являются операторами, действующими в некотором пространстве состояний.

В КТП участвуют следующие объекты (здесь мы рассматриваем только голоморфные поля):

Поле$T(z)$называется (голоморфной составляющей) тензором энергии-импульса. Его модовое расширение записывается как

$T(z)=\displaystyle\sum _{i}L_nz^{-n-2}$

Где$L_n$удовлетворяют так называемой алгебре Вирасоро.

Кроме$T(z)$могут быть и другие сохраняющиеся токи, но$T(z)$обязательно есть в любом CFT.

Другими базовыми объектами являются так называемые первичные поля Вирасоро. Поле$\phi(z)$называется Вирасоро по весу$h$если при голоморфной замене координат

$\omega =f(z)$

у нас есть

$\phi_{new}(\omega)=(\partial_z f(z))^{-h}\phi(z)$

Бесконечно мало это означает, что если мы изменим наши координаты как$z\rightarrow z+\epsilon(z)$затем

$\phi_{new}(z+\epsilon(z))=(1+\partial_z\epsilon(z))^{-h}\phi(z)$

~$\phi(z)-h(\partial_z\epsilon(z))\phi(z)$

Или другими словами

$\delta\phi(z)=\phi_{new}(z)-\phi(z)=-\epsilon(z)\partial_z\phi(z)-h(\partial_z\epsilon(z))\phi(z)\tag 1$

В терминах операторных полей бесконечно малое изменение поля$\phi(z)$(независимо от того, первичны они или нет) при бесконечно малой замене координат$z\rightarrow z+\epsilon(z)$дан кем-то

$\delta\phi(z)=-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_z} dw\epsilon(w)\mathfrak R(T(w)\phi(z))\tag 2$

Где$\mathfrak R(T(w)\phi(z))$— радиально-упорядоченное произведение или так называемое операторное произведение; и$C_z$представляет собой контур о$z$.$^{(*)}$

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос, все, что вам нужно сделать, это убедиться, что OPE

$\mathfrak R(T(w)\phi(z))=\displaystyle \frac{h}{(w-z)^2}\phi(z)+\frac{1}{(w-z)}\partial_z\phi(z)\tag 3$

при использовании в (2) дает (1).

Резюме: первичное поле по определению удовлетворяет (1). Уравнение (2) справедливо для всех полей, первичных или нет. Поэтому требуется это поле$\phi(z)$первично его ОПЭ с$T$обязательно должен иметь вид (3), так что (2) дает (1).

Добавлено позже : Для квазипервичного поля уравнение (1) справедливо только для переноса, масштабного преобразования и специального конформного преобразования координат (которые соответственно генерируются$L_{-1},L_0,L_1$) и, таким образом, только два члена сингулярной части его ОРЕ с$T(z)$можно определить.

---

*) В обычной КТП приходится определять квантовые операторы, соответствующие генераторам групповых преобразований Лоренца пространства Минковского. Там изменение поля при инфинтезимальной замене координат задается коммутатором соответствующих операторов с данным полем. Конформная группа бесконечномерна, поэтому ее представление в пространстве состояний задается полем$T(z)$а не конечным набором операторов. Интеграл в (2) есть не что иное, как коммутатор

$Q_{\epsilon}^{+}\phi(z)-\phi(z)Q_{\epsilon}^{-}$

где

$Q_{\epsilon}^{\pm}=-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^{\pm}} dw\epsilon(w)T(w)$

где$C^{+}$это круг с центром 0 и радиусом$>|z|$и$C^{-}$это круг с центром 0 и радиусом$<|z|$.