Интеграл по траекториям на окружности (расчет фазовой и линейной независимости)

Question

Интеграл по траекториям на окружности (расчет фазовой и линейной независимости)

Анонимный

Я читаю главу Шульмана «Методы и приложения интегрирования по путям» об интегралах по путям в многосвязных пространствах. В первом разделе он вычисляет континуальный интеграл свободной частицы на кольце. Полный интеграл по путям можно разделить на классы эквивалентности, каждый из которых содержит пути с одинаковым числом витков n, т. е. нет. раз мы пересекаем фиксированную точку на окружности.

К (ф^{''}, т^{''}; ф^{'}, т^{'}) "=" \sum_{н} А_{н} \sum_{ф е г_{н}} е^{я С (ф)} "=" \sum_{н "=" - \infty}^{н "=" \infty} А_{н} К_{н}

$K(\phi^{\prime \prime}, t^{\prime \prime};\phi^{\prime}, t^{\prime})=\sum_n A_n \sum_{\phi \in g_n} e^{iS(\phi)}=\sum_{n={-\infty}}^{n=\infty} A_n K_n$

Здесь $g_n$ есть множество (класс эквивалентности) всех путей с номером изгиба n. Есть фактор $A_n$ в общем случае, которое получается, если мы делаем предположение, что каждый член в сумме по числам намотки локально удовлетворяет волновому уравнению Шредингера. Позже можно доказать, что $A_{n+1}=e^{i\delta}A_n$

Мои вопросы:

Как мне интуитивно или строго доказать, что $K_n's$ линейно независимы? Они тоже ортогональны?
Шульман говорит, что «величина $A_0$ фиксируется по унитарности на 1'. Я не могу этого видеть. Я предполагаю, что унитарность означает $\int |K(\phi^{\prime \prime}, t^{\prime \prime};\phi^{\prime}, t^{\prime})|^2 d\phi^{\prime \prime}d\phi^{\prime}=1$ , но тогда много перекрестных членов и каждый из интегралов $\int|K_n|^2$ должен быть один, так что я получаю, что интеграл расходится.

Как мне показать $A_0=1$ ?

Тримок

Может я что-то упускаю, но пропагатор на окружности (радиуса

1

$1$ ) — это просто сумма по всем числам обмотки:

K_{c i r c l e} (ϕ^{″}, t^{″}; ϕ^{'}, t^{'}) = \sum_{l = - \infty}^{l = + \infty} K (ϕ^{″} + 2 π l, t^{″}; ϕ^{'}, t^{'})

$K_{circle}(\phi'', t'';\phi', t') = \sum_{l=-\infty }^{l=+\infty } K(\phi''+2\pi l, t'';\phi', t')$ , где

K

$K$ — стандартный одномерный пропагатор (Клейнерт

6.19

$6.19$ ,

6.20

$6.20$ ).

пользователь7757

@Trimok: В общем, каждый член суммы может иметь фазовый коэффициент.

e^{i n δ}

$e^{in\delta}$ по Шульману. Я все еще пытаюсь понять, почему это так. Примером такого фазового фактора, возникающего в многосвязных пространствах, является, например, эффект Ааронова-Бома. Можно было бы пролить больше света на то, почему

K_{n}

$K_n$

n

$n$ номер обмотки может иметь фактор

A_{n}

$A_n$ умножить его?

Тримок

Возможно, это бесполезно, но учтите, что:

\sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} e^{2 i π n δ} δ (ϕ^{″} + 2 π n - ϕ^{'}) = e^{i δ (ϕ^{'} - ϕ^{″})} \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} δ (ϕ^{″} + 2 π n - ϕ^{'})

$\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} e^{2i \pi n\delta} \delta(\phi''+2\pi n - \phi') = e^{i\delta(\phi'-\phi'')} \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} \delta(\phi''+2\pi n - \phi')$

пользователь7757

@Trimok: точные слова, которые автор использует для обоснования утверждения, таковы. «Поскольку доказательство интеграла по путям удовлетворяет уравнению Шредингера, является локальным, каждый член в сумме (по числу витков) индивидуально удовлетворяет уравнению SE. Отсюда следует, что

\sum_{n} A_{n} K_{n}

$\sum_n A_n K_n$ такой же хороший кандидат, как

\sum_{n} K_{n}

$\sum_n K_n$ .

A_{n}

$A_n$ оказывается

e^{i n δ}

$e^{in \delta}$ (Увеличивая

ϕ^{''}

$\phi^{\prime \prime}$ ) по полному циклу.

Ответы (1)

Интеграл по траекториям на окружности (расчет фазовой и линейной независимости)

Может я что-то упускаю, но пропагатор на окружности (радиуса $1$ ) — это просто сумма по всем числам обмотки: $K_{circle}(\phi'', t'';\phi', t') = \sum_{l=-\infty }^{l=+\infty } K(\phi''+2\pi l, t'';\phi', t')$ , где $K$ — стандартный одномерный пропагатор (Клейнерт $6.19$ , $6.20$ ).
@Trimok: В общем, каждый член суммы может иметь фазовый коэффициент. $e^{in\delta}$ по Шульману. Я все еще пытаюсь понять, почему это так. Примером такого фазового фактора, возникающего в многосвязных пространствах, является, например, эффект Ааронова-Бома. Можно было бы пролить больше света на то, почему $K_n$ $n$ номер обмотки может иметь фактор $A_n$ умножить его?
Возможно, это бесполезно, но учтите, что: $\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} e^{2i \pi n\delta} \delta(\phi''+2\pi n - \phi') = e^{i\delta(\phi'-\phi'')} \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} \delta(\phi''+2\pi n - \phi')$
@Trimok: точные слова, которые автор использует для обоснования утверждения, таковы. «Поскольку доказательство интеграла по путям удовлетворяет уравнению Шредингера, является локальным, каждый член в сумме (по числу витков) индивидуально удовлетворяет уравнению SE. Отсюда следует, что $\sum_n A_n K_n$ такой же хороший кандидат, как $\sum_n K_n$ . $A_n$ оказывается $e^{in \delta}$ (Увеличивая $\phi^{\prime \prime}$ ) по полному циклу.

Qмеханик · Answer 1

Подавим начальное и конечное время, $t_i$ и $t_f$ , соответственно, из обозначений, так как они здесь (почти) роли не играют.

Полный пропагатор Фейнмана на окружности $S^1\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ представляет собой сумму по режимам намотки $^1$ $n\in\mathbb{Z}$

\begin{matrix} (23,5) & К (ф_{ф}; ф_{я}) "=" \sum_{н е Z} А_{н} К_{н} (ф_{ф}; ф_{я}), \end{matrix}

$\tag{23.5}K(\varphi_f;\varphi_i) ~=~ \sum_{n\in\mathbb{Z}}A_n K_n(\varphi_f;\varphi_i),$

где $K_n(\varphi_f;\varphi_i)=K_0(\Delta\varphi-2\pi n;0)$ - пропагатор Фейнмана для одного сектора обмотки / инстантона. $n\in\mathbb{Z}$ . Здесь мы определили $\Delta\varphi~:=~\varphi_f-\varphi_i$ . Идея в том, что если мы пойдем по кругу $\varphi_f \to \varphi_f+2\pi$ , то физический результат должен быть таким же, т. е. полный пропагатор Фейнмана не может измениться более чем на фазовый множитель

\begin{matrix} (А) & К (ф_{ф} + 2 π; ф_{я}) "=" е^{я дельта} К (ф_{ф}; ф_{я}), дельта е р, \end{matrix}

$\tag{A} K(\varphi_f+2\pi;\varphi_i)~=~e^{i\delta}K(\varphi_f;\varphi_i), \qquad \delta\in \mathbb{R},$

в то время как по определению отдельные сектора смещаются

\begin{matrix} (Б) & К_{н} (ф_{ф} + 2 π; ф_{я}) "=" К_{н - 1} (ф_{ф}; ф_{я}) . \end{matrix}

$\tag{B} K_n(\varphi_f+2\pi;\varphi_i)~=~K_{n-1}(\varphi_f;\varphi_i).$

Таким образом, если $K_n$ линейно независимы, то ур. (AB) и (23.5) влекут, что

\begin{matrix} (23,6) & А_{н + 1} "=" е^{я дельта} А_{н}, \end{matrix}

$\tag{23.6} A_{n+1}~=~e^{i\delta}A_n,$

так что

\begin{matrix} (С) & К (ф_{ф}; ф_{я}) "=" А_{0} \sum_{н е Z} е^{я н дельта} К_{н} (ф_{ф}; ф_{я}) . \end{matrix}

$\tag{C} K(\varphi_f;\varphi_i) ~=~ A_0 \sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{in\delta} K_n(\varphi_f;\varphi_i).$

Осталось показать, что $A_0$ это всего лишь фазовый фактор, $|A_0|=1$ .

ОП прав, что модуль $|A_0|$ в принципе можно определить из условия нормировки

\begin{matrix} (Д) & \iint_{[0, 2 π]^{2}} д ф_{ф} д ф_{я} | К (ф_{ф}; ф_{я}) |^{2} "=" 1, \end{matrix}

$\tag{D} \iint_{[0,2\pi]^2}\! \mathrm{d} \varphi_f ~\mathrm{d}\varphi_i ~|K(\varphi_f;\varphi_i)|^2~=~1,$

см. также, например, этот пост Phys.SE.

В качестве альтернативы, если мы предположим, что $A_0$ не зависит от времени, то можно доказать $|A_0|=1$ переходя к короткому сроку $|t_f-t_i|\to 0$ . В этом пределе классическое действие рушится, так что

\frac{К (ф_{ф}; ф_{я})}{А_{0} опыт [\frac{я дельта}{2 π} Δ ф]} \overset{(С)}{"="} \sum_{н е Z} опыт [\frac{я дельта}{2 π} (2 π н - Δ ф)] К_{0} (Δ ф - 2 π н; 0)

$\frac{K(\varphi_f;\varphi_i)}{A_0\exp\left[\frac{i\delta}{2\pi}\Delta\varphi\right]} ~\stackrel{(C)}{=}~\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp\left[\frac{i\delta}{2\pi}(2\pi n-\Delta\varphi)\right] K_0(\Delta\varphi-2\pi n;0)$

⟶ \sum_{н е Z} опыт [\frac{я дельта}{2 π} (2 π н - Δ ф)] дельта (Δ ф - 2 π н) "=" \sum_{н е Z} дельта (Δ ф - 2 π н)

$~\quad\longrightarrow\quad~ \sum_{n\in\mathbb{Z}} \exp\left[\frac{i\delta}{2\pi}(2\pi n-\Delta\varphi)\right] \delta(\Delta\varphi-2\pi n) ~=~\sum_{n\in\mathbb{Z}} \delta(\Delta\varphi-2\pi n)$

\begin{matrix} (Э) & "=" дельта (Δ ф - 2 π Z) "=" \frac{1}{2 π} \sum_{м е Z} е^{я м Δ ф} "=" я я я_{2 π} (Δ ф) для | т_{ф} - т_{я} | \to 0, \end{matrix}

$\tag{E}~=~ \delta(\Delta\varphi-2\pi \mathbb{Z}) ~=~\frac{1}{2\pi}\sum_{m\in\mathbb{Z}} e^{im\Delta\varphi}~=:~III_{2\pi}(\Delta\varphi) \quad\text{for} \quad |t_f-t_i|~\to ~0,$

где мы использовали формулу пересуммирования Пуассона , которую Тримок написал в комментарии выше. См. также функцию гребенки Дирака . правая сторона предел экв. (E) — гребенчатая функция Дирака. $III_{2\pi}(\Delta\varphi)$ , что является правильным пределом для полного пропагатора Фейнмана $K$ по геометрии окружности (с точностью до фазового множителя). Так $|A_0|=1$ .

Различные фазовые факторы, возникающие между различными секторами инстантона/обмотки в путевом интеграле, в принципе могут быть объяснены путем тщательного отслеживания (i) физических эффектов, таких как, например, эффект Бома-Ааронова и т. д.; и (ii) фазовые множители, неявные в определении собственных схем $|\varphi, t\rangle$ локализуется в угловом пространстве.

Использованная литература:

Л. С. Шульман, Методы и приложения интегрирования путей, 1981, гл. 23.

--

$^1$ Можно вывести соглашение о знаках Шульмана для режима намотки. $n$ из его экв. (23.8) для $K_n$ . Между прочим, явный вид (23.8), вероятно, также является самым простым и убедительным способом убедиться в том, что $K_n$ действительно линейно независимы.

Большое спасибо. Пожалуйста, не могли бы вы также прокомментировать, почему именно $\sum_n A_n K_n$ скорее, чем $\sum_n K_n$ взят? Это могло бы объяснить такие явления, как эффект Ахаранова-Бома, но априори, как я могу просто изменить члены суммы? Шульман говорит, что это потому, что уравнение Шредингера выполняется локально, но я не могу понять, насколько оно актуально. Разве разбиение суммы на пути с одинаковым числом витков не является просто математическим удобством? Я не очень понимаю, как вы можете умножать $K_n$ по факторам. Не противоречит ли это фазовому вкладу Фейнмана $e^{iS}$ ?

Интеграл по траекториям на окружности (расчет фазовой и линейной независимости)

Анонимный

Тримок

пользователь7757

Тримок

пользователь7757

Ответы (1)

Qмеханик

пользователь7757

Включает ли интеграл Фейнмана разрывные траектории?

Аномалия в квантовой механике в формулировке интеграла по путям

SUSY QM и теорема Атьи-Зингера об индексе

Вычисление суммы сферических гармоник в пропагаторе частицы на сфере

Интуиция для интегралов пути и как их оценить

Формулировка интеграла по путям в квантовой механике

Интеграл по путям в QM против QFT

Действительно ли это строгое определение интеграла по траекториям в квантовой механике?

Мера интеграла Фейнмана по траекториям

Диагонализация/собственные значения бесконечномерной матрицы N гармонических осцилляторов на кольце