Интеграл с двумя энергетическими функциями Грина

Как предложил Филип Чериан, вы можете проверить раздел «Математика». Тем не менее, я хочу указать на одну вещь о том, как справиться с ограничением.

Я предполагаю, что$|\vec{k}|\ne 0$. Первое, что вы хотите сделать, это разделить каждый пропагатор на реальную и мнимую части. В общем,

$$\lim_{\delta \rightarrow 0^+}\frac{1}{E-E(q)+i\delta} = \lim_{\delta \rightarrow 0^+}\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\frac{\delta}{[E-E(q)]^2 + \delta^2}\right],$$ где я умножил верх и низ на комплексное сопряжение знаменателя и не принял во внимание $\delta^2$в знаменателе действительной части, так как он просто исчезнет, ​​когда вы возьмете предел. Затем вы используете личность $$\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\frac{\delta}{[E-E(q)]^2+\delta^2} = \pi\delta(E-E(q)),$$ то есть дельта Дирака. То, что вы получаете, это $$\begin{split}&\int d^3q\,\left[\frac{1}{E-E(q)}-i\pi\delta(E-E(q)) \right]\left[\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)}-i\pi\delta(E-E(\vec{q}+\vec{k})) \right]\\ &=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + i\pi\int d^3q\,\left[ \frac{\delta(E-E(q))}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)} + \frac{\delta(E-E(|\vec{q}+\vec{k}|))}{E-E(q)} \right]. \end{split}$$

Обратите внимание, что, поскольку я предполагаю$k\ne 0$, произведение двух дельт Дирака должно будет равняться нулю, потому что их аргументы никогда не равны нулю одновременно. Вы можете легко вычислить интеграл с помощью дельт Дирака. Напомним, что, поскольку дисперсия квадратична по$q$, при изменении переменных необходимо соблюдать определенные правила. Это дает вам мнимую часть интеграла. У меня нет реальных советов, как оценить реальную часть

$$\mathrm{Re}\{I(\vec{k})\}=\int d^3q\,\frac{1}{E-E(q)}\frac{1}{E-E(|\vec{q}+\vec{k}|)},$$ кроме проверки того, что вам это действительно нужно. В зависимости от проблемы, которую вы решаете, иногда все, что вам нужно, это воображаемая часть. С другой стороны, я также рекомендую вам проверить, что оба знаменателя в $I(\vec{k})$иметь $+i \epsilon$, вместо того, чтобы иметь $+i \epsilon$и другие $-i\epsilon$. Я говорю это потому, что это выражение выглядит как скелетное приближение к поляризационному пузырю, который является продуктом запаздывающего и опережающего пропагаторов, и в этом случае их мнимые части имеют противоположные знаки.

Это модификация классических манипуляций, которые делаются при вычислении петлевых интегралов. Используемый инструмент обычно называют «параметрами Фейнмана».$E _i$и определение$m ^2 \equiv 2 E$чтобы установить связь с обычными вычислениями, которые я нахожу (я опускаю$\epsilon$, так как они здесь неуместны):

$$\begin{align} \frac{1}{2} I & = \int d^3q \frac{1}{ ( q ^2 - m ^2 ) ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) } \\ & = \int _0 ^1 dx \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} ) ^2 - m ^2 ) x + ( q ^2 - m ^2 ) ( 1 - x ) \right] ^2 } \end{align}$$ Немного расширив и переписав выражение, $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ ( {\mathbf{q}} + {\mathbf{k}} x ) ^2 - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2 \right] ^2 } \end{equation}$$ Теперь, сдвигая интегральную переменную, я нахожу: $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \int _0 ^1 d x \int d^3q \frac{1}{ \left[ {\mathbf{q}} ^2 + \Delta \right] ^2 } \end{equation}$$ где $\Delta \equiv - {\mathbf{k}} ^2 x ^2 + {\mathbf{k}} ^2 x - m ^2$. Угловая часть интеграла теперь тривиальна, а радиальный интеграл прост. Я нахожу, $$\begin{equation} \frac{1}{2} I = \pi ^2 \int _0 ^1 d x \Delta ^{ - 1/2} \end{equation}$$ The $x$интеграл обычно остается нетронутым, но я подозреваю, что в этом случае вы могли бы попробовать выполнить и это.