При каком представлении трансформируются символы Кристоффеля?

Во-первых, они не переходят в реальное «представление» в смысле линейного представления группы преобразования координат, поскольку их поведение при преобразованиях координат$x\mapsto y(x)$дается как

$${\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \overset{y(x)}\mapsto \frac{\partial x^\mu}{\partial y^\beta}\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\gamma}{\Gamma^\sigma}_{\mu\nu}\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial y^\alpha}{\partial x^\sigma}\frac{\partial^2 y^\sigma}{\partial x^\beta \partial x^\gamma}\tag{1}$$

Тем не менее, их преобразование не является «случайным», поскольку они имеют такую ​​форму, чтобы ковариантная производная преобразовывалась как правильный тензор. Они превращаются как объект в струйный пучок каркасного пучка пространства-времени.$\mathcal{M}$. Что это значит?

Преобразование координат$y(x)$определяет в каждой точке$p\in\mathcal{M}$обратимая линейная карта

$$y'_p : T_p\mathcal{M}\to T_p\mathcal{M}, \frac{\partial}{\partial x^\mu}\mapsto\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}$$ то есть $y'$является диффеоморфизмом $T\mathcal{M}\to T\mathcal{M}$касательного расслоения, согласованного с проекцией на базу.

К касательному расслоению относится расслоение фреймов $F\mathcal{M}$всех упорядоченных оснований$T_p\mathcal{M}$в каждой точке. "Заказная база" означает, что вы просто берете$n$базисные векторы и записать их в$n\times n$-матрица. Поскольку это база, эта матрица обратима - пространство, которое расслоение фреймов связывает с каждой точкой, равно пространству$\mathrm{GL}(n)$, и, следовательно, это$\mathrm{GL}(n)$- основной комплект .

«Символы Кристоффеля» теперь являются просто компонентами главной связи на этом расслоении, где «форма связи» более известна физикам как калибровочное поле , принимающее значения в$\mathfrak{gl}(n)$, т. е. форма Кристоффеля является 1-формой$\Gamma : T\mathcal{M}\to\mathfrak{gl}(n)$. Его калибровочные преобразования задаются выражением$y_\text{gauge} : \mathcal{M}\to\mathrm{GL}(n), p \mapsto y'_p = \frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\rvert_p$для преобразования координат$y$, и, как всякое калибровочное поле, преобразуется как

$$y_\text{gauge} \Gamma y_\text{gauge}^{-1} + y_\text{gauge}\mathrm{d}y_\text{gauge}^{-1}$$ Координатное выражение $(1)$повторно получается из этого, написав $\Gamma = {\Gamma^\mu}_{\nu\sigma}{T^\nu}_\mu\mathrm{d}x^\sigma$за основу ${T^a}_b$принадлежащий $n\times n$-матрицы $\mathfrak{gl}(n)$.

Символы Кристоффеля не трансформируются ни при каких представлениях. Причина этого в том, что они не трансформируются линейно, что полностью исключает их из игры. Закон преобразования

$$\tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa} = {\partial \tilde x^\mu \over \partial x^\alpha} \left [ \Gamma^\alpha_{\beta \gamma}{\partial x^\beta \over \partial \tilde x^\nu}{\partial x^\gamma \over \partial \tilde x^\kappa} + {\partial ^2 x^\alpha \over \partial \tilde x^\nu \partial \tilde x^\kappa} \right ]$$

(для доказательства см., например, этот вопрос math.se ). Как видите, это возможно для$\tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa}$быть ненулевым, даже если$\Gamma^{\mu}_{\nu\kappa}$тождественно обращается в нуль, что фатально для линейности.

Причина, по которой это важно, заключается в том, что представление является отображением из группы симметрии$G$пространства-времени в группу линейных преобразований на некотором заданном векторном пространстве$V$. Таким образом: нет линейности, нет репрезентации.