Интегральное представление пути ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle

Как рассчитать представление интеграла по путям ⟨ д ф т ф | п ( т 1 ) | д я т я ⟩ где т я < т 1 < т ф ? Я делаю это, дискретизируя временные интервалы и добавляя полный набор | д Дж т Дж ⟩ состояний в каждой точке, то в момент т 1 , можно добавить п ( т 1 ) | п ′ т 1 ⟩ ⟨ п ′ т 1 | , который представляет собой импульс частицы в момент времени т 1 . После получения внутреннего продукта с состоянием положения во времени т 1 , и, интегрируя, я получаю

1 час ∫ Д ( д ) Д ( п ) ∫ г п ′ п ′ 2 2 м е Икс п ( − я ℏ д т 1 − 1 п ′ − ( т ф − т я ) ЧАС ( п ′ , ( д т 1 − 1 + д т 1 2 ) ) ) е Икс п ( я ℏ С )

Это выглядит ужасно некрасиво и неправильно. Как мне это сделать?

Комментарий к вопросу (v2): Пожалуйста, перепроверьте свою формулу.
Я предлагаю вам переписать исходное выражение как: ⟨ д ф | е − я ЧАС ( т ф − т 1 ) п ^ ( т 1 ) е − я ЧАС ( т 1 − т я ) | д я ⟩

Ответы (1)

Сделайте интеграл пути с этими граничными условиями и дополнительным исходным членом С "=" ∫ т 0 т 1 д ( т ) Дж ( т ) г т . Это интеграл Гаусса, и он вполне выполним (хотя вы должны быть немного осторожны с граничными условиями). Затем используйте Z ( Дж ) как производящий функционал: Дифференцировать Z ( Дж ) относительно «координатного направления» Дж ↦ Дж ( т 1 ) , а затем установите Дж "=" 0 . Это снижает п ( т 1 ) Вы хотели.

Вы хотите сказать добавить термин ∫ д ( т ) Дж ( т ) ?, я не вижу, как дифференциация с Дж , сбил бы п ( т 1 ) ?
Извините, комментарий выше следует читать п ( т ) Дж ( т )
Да. Извини! Вы также можете просто сделать разностное частное на решетке.
Интегральное представление пути ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v