Бесконечные корреляционные функции в теории свободного поля

В свободной скалярной теории поля теорема Вика гарантирует, что ⟨ ф ^ ( Икс ) ⟩ "=" 0 и ⟨ ф ^ ( Икс ) 2 ⟩ "=" ∞ . При условии ф ^ ( Икс ) создает частицу в Икс , они имеют относительно простые интерпретации

⟨ 0 | частица в точке х ⟩ "=" 0
и
⟨ частица в точке х | частица в точке х ⟩ ≡ ⟨ Икс | Икс ⟩ "=" ∞
где последний параллелен нормализации дельта-функции собственных схем положения в квантовой механике одной частицы.

Мой главный вопрос заключается в том, какое значение имеют эти расчеты, когда мы рассматриваем ф ^ ( Икс ) в качестве наблюдаемого? Первый результат относительно беспроблемный: вакуумное математическое ожидание свободного скалярного поля равно нулю. Второе, однако, кажется, подразумевает, что дисперсия поля бесконечна. Как мы должны интерпретировать это? Поскольку вычисление работает таким же образом для векторного поля, кажется, подразумевается, что электромагнитное поле имеет бесконечную дисперсию в вакууме, что (по крайней мере, на начальном этапе) кажется подозрительным.

Итак, моя гипотеза состоит в том, что вышеупомянутые бесконечности должны исчезнуть, когда вы рассматриваете более реалистичный сценарий измерения, такой как измерение среднего значения поля в какой-то небольшой области. Где ф ( Икс ) есть некоторая гауссова вершина в интересующей точке, оператор, соответствующий этому измерению, должен быть чем-то вроде

ф ^ ( Икс ) "=" ∫ д 4 Икс ′ ф ( Икс ′ ) ф ^ ( Икс ′ )
который создает частицу в распределении Гаусса с центром вокруг точки. Это все еще будет ⟨ ф ^ ⟩ "=" 0 , но вместо расходящейся дисперсии имеем
⟨ 0 | ф ^ ( Икс ) 2 | 0 ⟩ "=" ⟨ частица в распределении Гаусса | частица в распределении Гаусса ⟩ "=" конечный
поскольку распределения Гаусса нормализуемы. Таким образом, даже если «вакуумные флуктуации» в точке бесконечны, они размываются до небольшого конечного размера в любом измеримом масштабе, как и следовало ожидать. Является ли эта интуиция/объяснение примерно правильной?

Ваше уравнение для «варфи» не имеет смысла. В левой части есть «x», который не является фиктивной переменной, а в правой части «x» является фиктивной переменной интегрирования. Откуда берется зависимость "x" от LHS? LHS - это константа ... Я думаю, вы имеете в виду, что f (x) достигает максимума при некотором «y», а LHS является функцией «y» (а не x).
Спасибо @cosmas zachos — я изучил КТП по учебнику Шварца, и похоже, что я слишком внимательно следил за ним в вопросе состояния одной частицы. Я не занимался здесь математикой, но моя интуиция подсказывает, что поведение 1/x (в отличие от дельта-функции) может быть сложнее при построении «реалистичного» оператора.

Ответы (2)

Итак, моя гипотеза состоит в том, что вышеупомянутые бесконечности должны исчезнуть, когда вы рассматриваете более реалистичный сценарий измерения, такой как измерение среднего значения поля в какой-то небольшой области.

Когда дело доходит до рассмотрения квантового поля как «среднего значения поля в некоторой небольшой области», два парня по имени Г. Эпштейн и В. Глейзер опередили вас.

В 1973 году они опубликовали статью под названием «Роль локальности в теории возмущений» (см. здесь ). В статье квантовые поля рассматриваются как «умеренные распределения с операторными значениями», с помощью которых можно обойти раздражающие бесконечности в КТП.

Недавно были обнаружены тесные связи между алгеброй Хопфа и подходом Эпштейна/Глейзера к КТП (см. здесь ). И с тех пор он стал плодородной ареной для исследований в качестве альтернативного подхода к перенормировке. Если вам действительно интересно, вы можете обратиться к вводной книге «Конечная квантовая электродинамика: каузальный подход» Г. Шарфа (см. здесь ).

Где ф ( Икс ) есть некоторая гауссова вершина в интересующей точке, оператор, соответствующий этому измерению, должен быть чем-то вроде

ф ^ ( Икс ) "=" ∫ д 4 Икс ф ( Икс ) ф ^ ( Икс )
который создает частицу в распределении Гаусса с центром вокруг точки. Это все еще будет ⟨ ф ^ ⟩ "=" 0 , но вместо расходящейся дисперсии имеем
⟨ 0 | ф ^ ( Икс ) 2 | 0 ⟩ "=" ⟨ частица в распределении Гаусса | частица в распределении Гаусса ⟩ "=" конечный
поскольку распределения Гаусса нормализуемы. Таким образом, даже если «вакуумные флуктуации» в точке бесконечны, они размываются до небольшого конечного размера в любом измеримом масштабе, как и следовало ожидать. Является ли эта интуиция/объяснение примерно правильной?

Я думаю, вы имеете в виду, что f(x) — это функция с пиком при каком-то другом значении (например, y). Итак, мы должны написать ф у ( Икс ) чтобы это было ясно. Например, может быть:

ф у ( Икс ) "=" А е а ( Икс − у ) 2
или что-то в этом роде.

В этом случае:

⟨ ф ( Икс ) ф ( Икс ) ⟩ "=" ∫ д 4 ты ∫ д 4 в ф Икс ( ты ) ф Икс ( в ) ⟨ 0 | ф ( ты ) ф ( в ) | 0 ⟩
"=" ∫ д 4 ты ф Икс ( ты ) ф Икс ( ты )

В приведенном выше я предположил, что вы можете использовать:

⟨ 0 | ф ( ты ) ф ( в ) | 0 ⟩ "=" ⟨ ты | в ⟩ "=" дельта 4 ( ты − в )

Спасибо, что указали на ошибку в ОП. В сообщении, на которое ссылается Космас Захос, указано, что вакуумное ожидание phi (u) phi (v) на самом деле не является дельта-функцией, поэтому мне интересно, насколько это влияет на то, что вы здесь написали (и на стратегию, которую я применил выше).
Если vev для phi(u)phi(v) не является дельта-функцией, то результат изменится. Если <phi(u)phi(v)> имеет пик в (uv) и является узким по сравнению с f(x) и интегрируется до единицы, то результат не сильно изменится. Но иначе результат изменится.
Правильно, меня в основном интересует, сходится ли интеграл (что было бы, если бы внутренний продукт был дельтой). Интересно, что и Тонг, и Шварц заявляют, что оператор поля создает частицу в распределении дельта-функции (Тонг очень тверд в этом — см. уравнения 2.52 и 2.116), что заставляет меня задаться вопросом, не является ли сообщение, на которое ссылается Космас Захос, ошибкой.
Я не думаю, что сообщение со ссылкой ошибочно, я думаю, что у него просто другой выбор нормализации. Интеграл кажется мне сходящимся, для примера f, который я привел, но, конечно, это зависит от того, что представляет собой функция «f».
Тонг явно поддерживает пропагатор KG, связанный с этим вопросом в его (2.90). Это согласуется с большинством текстов QFT.
Бесконечные корреляционные функции в теории свободного поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v