Норма квантового состояния в трех измерениях

Интерпретация Борна утверждает, что для частицы с волновой функцией$\Psi(x)$, полная вероятность найти эту частицу в некоторой точке пространства равна$\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)^*\Psi(x)dx = 1$.

Предположим, у нас есть состояние$\rvert\psi\rangle$в гильбертовом пространстве$\mathcal{H} = \mathcal{L}^2(\mathbb{R})$. Оператор положения здесь$\hat{x}$с собственными значениями$x$. Чтобы вычислить вероятности, состояние должно быть нормализовано. Чтобы проверить, если$\rvert\psi\rangle$нормализуется, вычисляем его норму:

$$\langle\psi\rvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert\hat{I}\rvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert\left(\int_{-\infty}^{\infty}dx\rvert x\rangle\langle x\rvert\right) \rvert\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}dx\langle\psi\rvert x\rangle\langle x\rvert\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)^*\psi(x)dx.$$

Теперь предположим, что у нас есть состояние$\rvert\phi\rangle$в гильбертовом пространстве$\mathcal{H} = \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$. Оператор позиции здесь, если я правильно понял,$\hat{\textbf{r}}_n$с векторными собственными значениями$\textbf{r}_n$(согласно этому ответу: https://physics.stackexchange.com/a/126763/117677 ). И снова мы хотим убедиться, что$\rvert\phi\rangle$нормализуется. Его норма (обобщающая предыдущий случай) определяется выражением

$$\langle\phi\rvert\phi\rangle = \langle\phi\rvert\hat{I}\rvert\phi\rangle = \langle\phi\rvert\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\textbf{r}_n\rvert \textbf{r}_n\rangle\langle \textbf{r}_n\rvert\right) \rvert\phi\rangle.$$ Для меня это не имеет особого смысла, так как у нас есть дифференциал вектора, $d\textbf{r}_n$, и кет $\rvert\textbf{r}_n\rangle$, что похоже на двойную маркировку вектора.

Так как же рассчитать норму состояния более чем в одном измерении? Я неправильно обобщил, или мне просто не хватает какой-то ключевой интуиции?