Трансляционная инвариантность, предполагающая диагональное представление в импульсном пространстве

Это просто свойство преобразований Фурье. Если корреляционная функция трансляционно-инвариантна, то по определению представление в пространстве позиций$D(x,y)$трансформируется как$D(x+a,y+a) = D(x,y)$для любой константы$a$. Таким образом$D(x,y) = D(x-y,0)$и поэтому коррелятор зависит только от разности$x-y$. Для простоты определим$D(x-y) = D(x-y,0)$. Преобразуйте Фурье это по обоим$x$и$y$и вы найдете его диагональным в импульсном пространстве. Например, в одном измерении

$$\begin{eqnarray} \tilde{D}(p,q) &\sim& \int dx dy e^{ipx + iqy} D(x-y)\\ &=& \int du dy e^{ipu} e^{i(p+q)y} D(u) \\ &\sim& \tilde{D}(p) \delta(p+q) \end{eqnarray}$$

где я пренебрегаю отслеживанием констант. Результат является диагональным в импульсном пространстве благодаря дельта-функции, обеспечивающей$q=-p$.

Из трансляционно-инвариантности системы следует, что оператор сдвига коммутирует с гамильтонианом. Это означает, что они имеют основу взаимных собственных состояний. Поскольку оператор импульса генерирует сдвиги, т.е.

$$T =e^{-\imath x p}$$ состояние является собственным состоянием оператора переноса тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием оператора импульса.

Я предполагаю, что здесь следует отметить тот факт, что корреляционная функция (оператор) коммутирует с оператором импульса, поскольку

$$[D,\text e^{ixp}] = 0 \implies [D,p] = 0$$

Если это так, можно вспомнить, что любой оператор, представленный в своем собственном пространстве, является диагональным, и должен ответить на ваш вопрос.

PS: я не совсем уверен в вопросе (ответе), так что это только мое мнение

Чтобы расширить ответ, данный @By Symmetry, пусть двухточечная функция будет определена как

$$f(x_1,x_2)=\langle\Omega|\, \phi(x_1)\phi(x_2)\,|\Omega\rangle.$$ Чтобы вышеизложенное было трансляционно инвариантным, необходимо потребовать, чтобы $$\langle\Omega|\,\left[P, \phi(x_1)\phi(x_2)\right]\,|\Omega\rangle = 0$$ где $P$является генератором переводов, определенным как однопараметрическая унитарная группа. В общем случае это не требует, чтобы коммутатор всегда был равен нулю (он просто требует, чтобы он был таким в вакуумном состоянии); однако, если вы хотите, чтобы это отношение сохранялось в каждом состоянии $|\psi\rangle$то коммутатор, всегда равный нулю, означает, что $P$и $\phi(x_1)\phi(x_2)$иметь набор общих собственных состояний, в которых они могут быть одновременно диагонализированы.