Интерпретация уравнения Райчаудхури и притягательная природа гравитации

Во многих книгах утверждается, что уравнение Райчаудхури является своего рода «доказательством» того, что в общей теории относительности гравитация является притягательной.

Мне было бы интересно увидеть цитату из книги, которая действительно говорит об этом. Это просто звучит неправильно для меня. Более разумным было бы следующее утверждение. Многие известные нам формы материи (но не темная энергия) подчиняются определенным энергетическим условиям . Одним из таких энергетических условий является сильное энергетическое состояние (SEC), которое в основном говорит о том, что гравитация притягивает. Общая теория относительности не утверждает, что гравитация всегда притягивает, и на самом деле мы теперь знаем из космологических наблюдений, что гравитация не всегда притягивает.

Уравнение Райчаудхури описывает результат SEC. Например, если выполняется SEC, то уравнение Райчаудхури говорит, что космологическое расширение всегда должно замедляться, а не ускоряться. И поскольку SEC неверна для темной энергии, космологическое расширение на самом деле в настоящее время ускоряется.

А если нет, то разве этот пример не показывает, что гравитация может быть притягивающей, но при этом иметь расходящийся эффект?

И сильное энергетическое условие, и уравнение Райчаудхури описывают набор пробных частиц в трех измерениях. Вы не можете исследовать это только с двумя тестовыми частицами.

Хорошее введение в уравнение Райчаудхури можно найти в статье Джорджа Эллиса « Об уравнении Райчаудхури», Pramana Vol. 69, № 1, июль 2007 г.${}^1$. Он дает следующее интуитивное объяснение того, как она показывает притягательную природу гравитации:

Эллис дает уравнение в виде:

Затем он отмечает, что если мы выберем репрезентативную шкалу длины$\ell$это связано с$\Theta$от:

И замена этого дает нам:

Левая часть уравнения говорит нам, увеличивается или уменьшается скорость изменения объема пространства. Положительное значение означает, что расширение ускоряется, а отрицательное значение означает, что расширение замедляется. Поэтому нам нужно только посмотреть на знаки параметров в правой части, чтобы увидеть, какое влияние они оказывают.

Таким образом, в этой форме сразу становится очевидным, что положительная космологическая постоянная вызывает расширение, поскольку она появляется в правой части с положительным знаком. Точно так же термин материи$\mu+3p/c^2$вызывает сокращение, так как оно появляется с отрицательным знаком.

Но это предполагает некоторое распределение материи$\mu(\mathbf x)$. Вы приводите пример двух частиц на гиперболической орбите вокруг планеты, но плотность вещества вне планеты равна нулю, поэтому, предполагая, что СС также пренебрежимо мала, уравнение принимает вид:

что верно, но не очень интересно. В этом случае уравнение Райчаудхури не дает нам ничего полезного.

${}^1$Я нашел копию в Интернете, но эта ссылка исчезла. Боюсь, похоже, что вам придется заплатить за газету.

Во многих книгах утверждается, что уравнение Райчаудхури является своего рода «доказательством» того, что в общей теории относительности гравитация является притягательной. Т

Уравнение на самом деле ничего не доказывает. И поскольку это « важно как фундаментальная лемма для теорем Пенроуза-Хокинга о сингулярности », я бы сказал, что вы правы, когда сомневаетесь в этом.

Это делается путем рассмотрения пучка геодезических и доказательства того, что при определенных разумных условиях его расширение$\theta$имеет отрицательную производную по времени. Это означает, что пучок геодезических имеет тенденцию сходиться с течением времени, и, следовательно, это означает, что искривление пространства-времени создает силу притяжения.

Искривление пространства-времени связано с приливной силой, которая относится ко второй производной потенциала. Не сила тяжести, которая относится к первой производной потенциала - градиенту потенциала. В комнате, в которой вы находитесь, нет заметной приливной силы, но ваш карандаш все равно падает. Свет также изгибается вниз. Люди склонны говорить, что «свет следует по геодезической», где геодезическая — это кратчайшая возможная линия между двумя точками на искривленной поверхности. Но этот свет не следует за искривлением пространства-времени. Для аналогии представьте жесткую доску. Затем возьмите одну сторону и прокатите по ней шарик. Путь мрамора изгибается, потому что доска имеет градиент, а не потому, что она изогнута. Конечно, в аналогии с резиновым листом вам нужна некоторая кривизна, чтобы иметьградиент, но важно понимать, что кривые света больше всего изгибаются там, где градиент гравитационного потенциала больше, а не там, где кривизна больше.

Однако у меня есть проблема с этой интерпретацией. Пучок геодезических подразумевает пучок пробных частиц: объектов, гравитационным влиянием которых можно пренебречь. Предполагается, что источником искривления пространства-времени является какое-то другое распределение материи, а не наши геодезические. Кажется, мы доказываем, что пробные частицы притягиваются друг к другу! Но это не то, что делает гравитация: пробные частицы должны притягиваться материей, а не друг другом. Я неправильно понимаю интерпретацию уравнения Райчаудхури?

Я так думаю. Это касается приливной силы, когда футбольный мяч превращается в мяч для регби . Или американский «футбол», если хотите.

На самом деле, я могу представить себе ситуацию, когда гравитация могла бы иметь расходящийся эффект (пожалуйста, дайте мне знать, если эта часть должна быть отдельным вопросом). Рассмотрим две соседние пробные частицы, летящие в общем направлении планеты с прицельными параметрами$b$и$b + \delta b$: один из них пройдет ближе к планете, чем другой. Тогда более близкая частица будет отклоняться больше, чем более дальняя, так что их траектории будут расходиться при прохождении вблизи планеты. Не противоречит ли это уравнению Райчаудхури? А если нет, то разве этот пример не показывает, что гравитация может быть притягивающей, но при этом иметь расходящийся эффект?

Приливная сила также является «расходящимся» эффектом. Если вы падаете в черную дыру, люди говорят, что вас спагеттилизируют. Но вы не получите спагетти в ширину. Вместо этого вы «сфокусированы» по ширине. Однако это происходит только потому, что нисходящая сила тяжести у ваших ног больше, чем нисходящая сила тяжести у вашей головы. Это не потому, что сила тяжести всегда направлена ​​вниз, хотя это и так. Это всегда направлено на концентрацию энергии, которая «обусловливает» окружающее пространство, потому что это обусловливание сродни установлению в пространстве градиента плотности энергии. Оно нелинейно, отсюда и кривизна пространства-времени. См. Лейденское обращение Эйнштейна 1920 года :«Согласно этой теории метрические качества континуума пространства-времени различны в среде разных точек пространства-времени и отчасти обусловлены материей, существующей вне рассматриваемой территории».