Почему нельзя выразить 1-й закон Ньютона в виде автопараллельного перемещения в пространстве?

В вопросе упоминается 1-й закон Ньютона, однако в лекции 9 речь идет о 2-м законе Ньютона. Структура этого последнего не допускает описания параллельного переноса. Причина в том, что гравитация в целом зависит от точки, поэтому параллельное транспортное прочтение Ньютона справедливо только в очень ограниченной области пространства-времени. В лекции приводится пример объекта, падающего на Северный полюс, в сравнении с объектом, падающим на Южный полюс; невозможно найти систему координат для описания обоих как параллельного транспорта.
Другой случай - 1-й закон Ньютона, когда гравитации нет, т.е. ньютоновская сила равна нулю. В этом случае$\Gamma's$также равны нулю, и параллельный перенос сводится к уравнению прямой линии в евклидовом пространстве.

Если вы знаете ОТО, этот вопрос может вас раздражать, поскольку релятивистская точечная частица в гравитационном поле на самом деле следует геодезическим (это особый тип автопараллелей ) в пространстве-времени.

Но дьявол кроется в деталях: профессор Шуллер говорит об автопараллелях в пространстве, а не в пространстве-времени. И он утверждает, что гравитационное ускорение$\vec{g}$(которое зависит от положения, а не от скорости) нельзя эмулировать с помощью члена, квадратичного по скорости, как это необходимо в автопараллельном уравнении, ср. Экв. ОП. (1).

Позже в 36:06 в той же лекции 9 профессор Шуллер рассматривает тот же вопрос в пространстве-времени (в отличие от пространства ) и показывает, что точечная частица в гравитационном поле следует автопараллели в пространстве-времени: В статической калибровке$x^0=t$пространства -времени гравитационное ускорение$g^{\alpha}$можно воспроизвести новый$\Gamma^{\alpha}_{00}\dot{x}^0 \dot{x}^0$сектор.