Теория Эйнштейна-Картана является обобщением общей теории относительности, поскольку опущено условие, что метрическая аффинная связность не имеет кручения. Другими словами, пространство-время является римановым многообразием вместе с данными метрической аффинной связности (которая может отличаться от связности Леви-Чивиты подходящим тензором искривления).
В этом случае геодезические (пути, локально экстремальные по длине и заданные по вариационному принципу) вообще отличаются от автопараллелей. Насколько мне известно, траектории бесспиновых частиц в теории Эйнштейна-Картана обычно предполагаются геодезическими (а не автопараллелями), поэтому они не чувствуют разницы между данной связью и связью Леви-Чивиты. (Кстати, есть ли хорошая ссылка на это утверждение?)
Мой вопрос в том, как должны вести себя классические частицы со спином? Будут ли они также двигаться по геодезическим с той лишь разницей, что направление их вращения будет эволюционировать в соответствии с тензором искривления (рассматриваемым как -значная однозначная форма)?
Нет. Частицы со спином будут испытывать кручение не только через прецессию своего спина, так как уравнения движения для них (уравнения Матиссона-Папапетру) будут содержать асимметричную часть связи.
Одним из источников вопроса является обзор
Хель, Ф.В., фон дер Хейде, П., Керлик, Г.Д., и Нестер, Дж.М. (1976). Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы. Преподобный Мод. Phys., 48(3), 393. (есть онлайн-версия ).
Оттуда узнаем:
Мы уже указывали, что фотон и бесспиновые пробные частицы не чувствуют кручения. Пробная частица в Теория, способная ощущать кручение, — это частица с динамическим спином, как у электрона. Его уравнение движения можно получить, интегрируя закон сохранения энергии-импульса (3.12). При этом мы получаем непосредственно уравнение типа Матиссона-Папапетру для движения вращающейся пробной частицы (Hehl, 1971; Trautman, 1972c) Адамович и Траутман (1975) изучали прецессию такой пробной частицы на фоне кручения. Все эти соображения представляют, однако, лишь академический интерес, поскольку кручение возникает только внутри материи. Там само понятие вращающейся пробной частицы становится неясным (H. Gollisch, 1974, неопубликовано). Только нейтрино, чье спиновое самовзаимодействие исчезает, кажутся возможными кандидатами на роль. пробные частицы.
(Hehl, 1971) ссылка здесь, по-видимому, на оригинальный результат о движении пробной частицы со спином:
Хель, FW (1971). Как измерить кручение пространства-времени? физ. лат. А, 36(3), 225-226. ( http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(71)90433-6 )
Для более современной записи (тетрадного формализма) для упомянутых уравнений Матиссона-Папапетру вы можете использовать тезис:
Ласкось-Грабовски, П. (2009). Теория Эйнштейна–Картана: смысл и последствия кручения. Магистерская диссертация стр. 17-19
Ссылки там должны содержать всю дополнительную информацию.