Интуитивная логика этого прекрасного результата последовательных столкновений двух тел

Уравнение, определяющее положение каждого отдельного блока, имеет вид

$$x=x_0 + v_0 t + a t^2$$

с$a$, ускорение, зависящее от трения. Расстояние между блоками определяется как$\Delta x=x_A - x_B$. Если записать выражение для$\Delta x$, вы обнаружите, что оно имеет ту же форму, что и уравнение для$x$, но с другими значениями констант. Это говорит вам о том, что пока блоки не соприкасаются, расстояние между блоками ведет себя так же, как положение одного блока.

Затем нам нужно посмотреть, что происходит, когда блоки сталкиваются. Поскольку они имеют одинаковую массу, после столкновения блок А примет скорость блока В, и наоборот. Разница скоростей$\Delta v = \frac{d\Delta x}{dt}=v_A-v_B$меняет знак при столкновении. То же самое происходит со скоростью отдельного блока, когда он отскакивает от твердой стены.

Поэтому расстояние между двумя блоками ведет себя точно так же, как положение одного блока. Так же, как вы уже вычислили.

Ключевые выводы:

1. Поскольку блоки имеют одинаковую массу и упруго сталкиваются, их скорости меняются при каждом столкновении.

2. Оба блока всегда движутся вниз по склону. Задний блок никогда не перемещается вверх по склону.

3. Направление и величина силы трения постоянны для каждого блока, как и составляющая веса. Таким образом, между столкновениями каждый блок движется с постоянным ускорением вниз по склону с разной скоростью для каждого.

4. Между столкновениями два блока проходят одинаковое расстояние за одно и то же время и, следовательно, имеют одинаковую среднюю скорость.

Движения блоков можно отобразить на графике скорость-время:

Вертикальные серые линии представляют время последовательных столкновений. Между ними площади под графиками для A (красный) и B (синий) равны. Эта площадь представляет собой расстояние, пройденное между столкновениями.

Блоки стартуют с одинаковой (нулевой) скоростью. Время до первого столкновения$T$. Время между последующими столкновениями равно$2T$. График повторяется с постоянным интервалом времени$2T$, после смещения вбок и вверх. Это преобразование каждый раз увеличивает площадь под каждым графиком на одну и ту же величину.

График показывает, что время между столкновениями постоянно, и что расстояния между столкновениями каждый раз увеличиваются на постоянную величину. От начальной точки время столкновений равно$T, 3T, 5T, 7T$и т. д.

Зеленая линия представляет движение центра масс, который совпадает с двумя блоками в точках столкновения. Он движется со средним$a$двух ускорений, которое является постоянным:

$$a=g[\sin\theta-\frac12(\mu_A+\mu_B)\cos\theta]$$ при условии, что $\tan\theta>\mu_B>\mu_A$. График перемещается вверх на $2Ta$между столкновениями, поэтому расстояние между столкновениями увеличивается на $4T^2a$каждый раз.

В соответствии с законом Галилея расстояния, пройденные за последовательные интервалы равной продолжительности, находятся в арифметической прогрессии .

$T$относится к$d$, разница расстояний, пройденных каждым блоком от начала до 1-го столкновения, на

$$d = \frac12(a_A-a_B)T^2 = \frac12(\mu_B-\mu_A)gT^2\cos\theta$$